Какие точки пересечения у графиков функций у=-3/х и у=1-х можно найти, построив

Veterok

15

Для нахождения точек пересечения графиков функций \(y = -\frac{3}{x}\) и \(y = 1 - x\) мы должны найти значения \(x\), которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого следует приравнять выражения в обоих уравнениях и решить полученное уравнение.

Выражение \(y = -\frac{3}{x}\) означает, что значение \(y\) равно отрицательному трём, разделённому на значение \(x\). Обратите внимание, что значение \(x\) не может быть равно нулю, так как деление на ноль невозможно.

Выражение \(y = 1 - x\) означает, что значение \(y\) равно единице, вычтенной из значения \(x\).

Итак, мы должны решить следующее уравнение:

\[-\frac{3}{x} = 1 - x\]

Для начала, избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на \(x\) и сделав необходимую алгебраическую работу:

\[-3 = x(1 - x)\]

Распределим \(x\) в скобке:

\[-3 = x - x^2\]

Теперь перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\(x^2 - x - 3 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, метода дискриминанта или метода завершения квадрата. Давайте воспользуемся методом дискриминанта.

Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты в квадратном уравнении \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае:

\(a = 1\), \(b = -1\) и \(c = -3\).

Вычисляем значение дискриминанта:

\[\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13\]

Дискриминант \(\Delta\) равен \(13\). Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных вещественных корня.

Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Подставляем значения \(a\), \(b\) и \(\Delta\):

\[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{13}}{2(1)}\]

Производим вычисления для каждого из двух корней:

\[x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\]

\[x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\]

Таким образом, мы получаем два значения \(x\):

\(x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\) и \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\).

Теперь, чтобы найти значения \(y\) для каждого из полученных значений \(x\), подставим их в одно из исходных уравнений:

Определим значение \(y\) для \(x_1\):

\[y = -\frac{3}{x_1} = -\frac{3}{\frac{1 + \sqrt{13}}{2}}\]

Чтобы упростить деление на дробь, умножаем числитель и знаменатель на обратную дробь:

\[y = -\frac{3}{x_1} = -\frac{3}{1 + \sqrt{13}} \cdot \frac{2}{2} = -\frac{6}{2 + 2\sqrt{13}}\]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженную дробь числителя, чтобы избавиться от иррациональных корней в знаменателе:

\[y = \left(-\frac{6}{2 + 2\sqrt{13}}\right) \cdot \left(\frac{2 - 2\sqrt{13}}{2 - 2\sqrt{13}}\right) = -\frac{12 - 12\sqrt{13}}{4}\]

Значение \(y_1\) для \(x_1\) равно: \(y_1 = -\frac{12 - 12\sqrt{13}}{4}\).

Теперь определим значение \(y\) для \(x_2\):

\[y = -\frac{3}{x_2} = -\frac{3}{\frac{1 - \sqrt{13}}{2}}\]

Упрощаем деление на дробь:

\[y = -\frac{3}{x_2} = -\frac{3}{1 - \sqrt{13}} \cdot \frac{2}{2} = -\frac{6}{2 - 2\sqrt{13}}\]

Опять используем сопряженную дробь:

\[y = \left(-\frac{6}{2 - 2\sqrt{13}}\right) \cdot \left(\frac{2 + 2\sqrt{13}}{2 + 2\sqrt{13}}\right) = -\frac{12 + 12\sqrt{13}}{4}\]

Значение \(y_2\) для \(x_2\) равно: \(y_2 = -\frac{12 + 12\sqrt{13}}{4}\).

Таким образом, мы получаем две точки пересечения графиков функций \(y = -\frac{3}{x}\) и \(y = 1 - x\):

\(P_1\left(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}, -\frac{12 - 12\sqrt{13}}{4}\right)\)

\(P_2\left(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}, -\frac{12 + 12\sqrt{13}}{4}\right)\)

Эти точки (\(P_1\) и \(P_2\)) представляют значения \(x\) и соответствующие им значения \(y\) при пересечении графиков функций.