Какое значение х делает векторы 2а + b и с перпендикулярными?

Орех

64

Чтобы найти значение \(x\), при котором векторы \(2\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) являются перпендикулярными, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности векторов. Для того чтобы два вектора были перпендикулярными, их скалярное произведение должно равняться нулю.

Предположим, что \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - это векторы, а \(x\) - это значение, которое будет умножаться на \(\mathbf{a}\) перед сложением с \(\mathbf{b}\). Тогда вектор \(2\mathbf{a} + \mathbf{b}\) может быть записан как:

\[2\mathbf{a} + \mathbf{b} = 2\mathbf{a} + x\mathbf{a},\]

где \(x\) - это значение, которое нам необходимо найти.

Теперь мы должны найти скалярное произведение векторов \(2\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) и приравнять его к нулю:

\[(2\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = 0.\]

Подставим выражение \(2\mathbf{a} + \mathbf{b}\):

\[(2\mathbf{a} + x\mathbf{a}) \cdot \mathbf{c} = 0.\]

Раскроем скобки и учитывая, что скалярное произведение коммутативно, получим:

\[(2 + x)(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) = 0.\]

Теперь нам нужно найти значение \(x\), при котором выражение \((2 + x)(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\) равняется нулю.

Есть два случая, когда произведение равно нулю: либо \((2 + x) = 0\), либо \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0\).

1) Если \((2 + x) = 0\), то \(x = -2\).

2) Если \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0\), то произведение будет равно нулю для любого значения \(x\).

Итак, получаем два возможных значения \(x\): \(x = -2\) и все значения \(x\), при которых \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0\).

Таким образом, для того чтобы векторы \(2\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) были перпендикулярными, значение \(x\) должно быть равно либо -2, либо \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0\).