Какое значение имеет бином, представленный в виде C05⋅2^5+C15⋅2^4+C25⋅2^3+C35⋅2^2+C45⋅2+C55? Обратите внимание

Oksana_9474

53

Для решения данной задачи мы должны разобраться, что представляет собой бином и как он выражается.

Бином в данной задаче указывает на биномиальный коэффициент, обозначаемый символом \(C\). Биномиальный коэффициент выражается через формулу:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\]

Где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), а \(k!\) и \((n - k)!\) обозначают факториалы чисел \(k\) и \((n - k)\) соответственно.

Теперь рассмотрим каждый член данной задачи:

\[
C05\cdot2^5 + C15\cdot2^4 + C25\cdot2^3 + C35\cdot2^2 + C45\cdot2 + C55
\]

Видим, что первая цифра в каждом члене указывает на \(n\), а вторая цифра указывает на \(k\). Например, \(C05\) означает \(C(0, 5)\), а \(C15\) означает \(C(1, 5)\) и так далее.

Теперь, для каждого члена в выражении, мы можем вычислить соответствующий биномиальный коэффициент:

\[
\begin{align*}
C(0, 5) &= \frac{{0!}}{{5!(0 - 5)!}} = \frac{{1}}{{5!(-5)!}} = 0 \\
C(1, 5) &= \frac{{1!}}{{5!(1 - 5)!}} = \frac{{1}}{{5!(-4)!}} = 0 \\
C(2, 5) &= \frac{{2!}}{{5!(2 - 5)!}} = \frac{{2}}{{5!(-3)!}} = 0 \\
C(3, 5) &= \frac{{3!}}{{5!(3 - 5)!}} = \frac{{6}}{{5!(-2)!}} = 0 \\
C(4, 5) &= \frac{{4!}}{{5!(4 - 5)!}} = \frac{{24}}{{5!(-1)!}} = 0 \\
C(5, 5) &= \frac{{5!}}{{5!(5 - 5)!}} = \frac{{120}}{{5!(0)!}} = 1 \\
\end{align*}
\]

Теперь, для каждого члена выражения, мы можем вычислить \(2^k\):

\[
\begin{align*}
2^5 &= 32 \\
2^4 &= 16 \\
2^3 &= 8 \\
2^2 &= 4 \\
2^1 &= 2 \\
2^0 &= 1 \\
\end{align*}
\]

Теперь подставим найденные значения и вычислим итоговую сумму:

\[
C05\cdot2^5 + C15\cdot2^4 + C25\cdot2^3 + C35\cdot2^2 + C45\cdot2 + C55 = 0\cdot32 + 0\cdot16 + 0\cdot8 + 0\cdot4 + 0\cdot2 + 1\cdot1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
\]

Таким образом, значение данного бинома равно 1.