Какое значение имеет sin18*cos36 - sin72*sin36 / sin9*cos9?

Zolotoy_List_5892

32

Для решения данной задачи, давайте разложим данное выражение на составляющие и постепенно его упростим.

Исходное выражение: \(\frac{{\sin(18) \cdot \cos(36) - \sin(72) \cdot \sin(36)}}{{\sin(9) \cdot \cos(9)}}\)

1) Начнем со замены углов на их тригонометрические значения:

\(\sin(18) = \sin(36/2)\) - используем половинное деление угла

\(\cos(36) = \cos(2 \cdot 18)\) - используем двойное удвоение угла

\(\sin(72) = \sin(2 \cdot 36)\) - также используем двойное удвоение угла

\(\sin(36) = \sin(2 \cdot 18)\) - еще раз двойное удвоение угла

\(\sin(9) = \sin(3 \cdot 3)\) - используем тройное удвоение угла

\(\cos(9) = \cos(2 \cdot 9 - 9)\) - используем двойное удвоение угла

2) Теперь заменим эти значения в исходном выражении:

\(\frac{{\sin(36/2) \cdot \cos(2 \cdot 18) - \sin(2 \cdot 36) \cdot \sin(2 \cdot 18)}}{{\sin(3 \cdot 3) \cdot \cos(2 \cdot 9 - 9)}}\)

3) Далее раскроем функции с использованием тригонометрических формул:

\(\frac{{\sin(18)\cos(36) - \sin(72)\sin(36)}}{{\sin(9)\cos(9)}}\)

4) Сократим выражение:

\(\frac{{\sin(18)\cos(36) - \sin(72)\sin(36)}}{{\sin(9)\cos(9)}} = \frac{{\sin(18)\cos(36)}}{{\sin(9)\cos(9)}} - \frac{{\sin(72)\sin(36)}}{{\sin(9)\cos(9)}}\)

5) Используем формулы приведения:

\(\frac{{\sin(18)\cos(36)}}{{\sin(9)\cos(9)}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \cos(36)}}{{\frac{1}{2} \cdot \cos(9)}} = \frac{{\cos(36)}}{{\cos(9)}}\)

Аналогично,

\(\frac{{\sin(72)\sin(36)}}{{\sin(9)\cos(9)}} = \frac{{\sin(72)\cos(54)}}{{\sin(9)\cos(9)}} = \frac{{\sin(72)}}{{\sin(9)}}\)

6) Теперь, воспользуемся некоторыми тригонометрическими свойствами:

\(\frac{{\cos(36)}}{{\cos(9)}} = \frac{{\cos(54)}}{{\cos(9)}}\) - так как \(\cos(36) = \cos(54)\)

Также, \(\frac{{\sin(72)}}{{\sin(9)}} = \frac{{2\sin(36)\cos(36)}}{{2\sin(9)\cos(9)}}\) - применяем двойную формулу для синуса

7) Откроем скобки и сократим числители и знаменатели:

\(\frac{{\cos(54)}}{{\cos(9)}} - \frac{{2\sin(36)\cos(36)}}{{2\sin(9)\cos(9)}} = \frac{{\cos(54)}}{{\cos(9)}} - \frac{{\sin(36)}}{{\sin(9)}}\)

8) Видим, что у нас осталось две тригонометрические функции, которые различаются только знаком. Тогда, можем воспользоваться формулой тангенса разности двух углов:

\(\frac{{\cos(54)}}{{\cos(9)}} - \frac{{\sin(36)}}{{\sin(9)}} = \tan(54 - 9) = \tan(45)\)

9) Найдем значение тангенса угла \(45^\circ\):

\(\tan(45^\circ) = \frac{{\sin(45^\circ)}}{{\cos(45^\circ)}} = \frac{{\frac{\sqrt{2}}{2}}}{{\frac{\sqrt{2}}{2}}} = 1\)

Таким образом, ответ на задачу равен 1.