Какое значение имеет выражение 3*(1/5а-1/6b):(b/5-a/6), если мы заменим а на √27 и b на 1/√3?

Золотая_Пыль

69

Для начала, подставим значения \(а = \sqrt{27}\) и \(b = \frac{1}{\sqrt{3}}\) в выражение \[3\left(\frac{1}{5a} - \frac{1}{6b}\right):\left(\frac{b}{5} - \frac{a}{6}\right)\] Последовательно заменим \(а\) и \(b\) в выражении:

1. Подстановка значения \(а\):
\[а = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]
Получаем:
\[3\left(\frac{1}{5\cdot3\sqrt{3}} - \frac{1}{6b}\right):\left(\frac{b}{5} - \frac{3\sqrt{3}}{6}\right)\]

2. Подстановка значения \(b\):
\[b = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]
Получаем:
\[3\left(\frac{1}{5\cdot3\sqrt{3}} - \frac{1}{6\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}\right):\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{5} - \frac{3\sqrt{3}}{6}\right)\]

3. Упрощение дробей:
Вычислим дроби внутри скобок:
\[\frac{1}{5\cdot3\sqrt{3}} = \frac{1}{15\sqrt{3}}\]
\[\frac{1}{6\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{2}\]
\[\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{5} = \frac{\sqrt{3}}{15}\]
\[\frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Получаем:
\[3\left(\frac{1}{15\sqrt{3}} - \frac{1}{2}\right):\left(\frac{\sqrt{3}}{15} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

4. Упрощение выражения внутри скобок:
Вычислим выражение в числителе:
\(\frac{1}{15\sqrt{3}} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 15\sqrt{3}}{30\sqrt{3}}\)
Вычислим выражение в знаменателе:
\(\frac{\sqrt{3}}{15} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-13\sqrt{3}}{30}\)
Получаем:
\[3 \cdot \frac{\frac{2 - 15\sqrt{3}}{30\sqrt{3}}}{\frac{-13\sqrt{3}}{30}}\]

5. Деление дробей:
Когда делим одну дробь на другую, мы можем умножить первую дробь на обратное значение второй дроби:
Получаем:
\[3 \cdot \frac{2 - 15\sqrt{3}}{30\sqrt{3}} \cdot \frac{30}{-13\sqrt{3}}\]

6. Упрощение числителя:
Упростим числитель:
\((2 - 15\sqrt{3}) \cdot 30 = 60 - 450\sqrt{3}\)
Получаем:
\[3 \cdot \frac{60 - 450\sqrt{3}}{30\sqrt{3}} \cdot \frac{30}{-13\sqrt{3}}\]

7. Упрощение знаменателя:
Упростим знаменатель:
\((-13\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = -13 \cdot 3 = -39\)
Получаем:
\[3 \cdot \frac{60 - 450\sqrt{3}}{-39}\]

8. Упрощение дроби:
Упростим дробь:
\(\frac{60 - 450\sqrt{3}}{-39} = -\frac{60 - 450\sqrt{3}}{39}\)

Таким образом, значение выражения при \(а = \sqrt{27}\) и \(b = \frac{1}{\sqrt{3}}\) равно \(-\frac{60 - 450\sqrt{3}}{39}\).