3. Координаты вершин треугольника ABC: A(3;4), B(5;8), C(9;6). Для треугольника ABC определите: а) тип треугольника

Okean

14

Давайте решим задачу поэтапно:

a) Чтобы определить тип треугольника ABC, нам нужно посмотреть на его стороны и углы. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора и теорему косинусов.

Сначала найдем длины сторон треугольника ABC:

Сторона AB:
\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
= \sqrt{(5 - 3)^2 + (8 - 4)^2}
= \sqrt{2^2 + 4^2}
= \sqrt{4 + 16}
= \sqrt{20}
\]

Сторона AC:
\[
AC = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2}
= \sqrt{(9 - 3)^2 + (6 - 4)^2}
= \sqrt{6^2 + 2^2}
= \sqrt{36 + 4}
= \sqrt{40}
\]

Сторона BC:
\[
BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2}
= \sqrt{(9 - 5)^2 + (6 - 8)^2}
= \sqrt{4^2 + (-2)^2}
= \sqrt{16 + 4}
= \sqrt{20}
\]

Теперь, используя найденные длины сторон, мы можем определить тип треугольника ABC.

Если все три стороны равны, то треугольник ABC является равносторонним треугольником.

Если две стороны равны, а третья отличается, то треугольник ABC является равнобедренным треугольником.

Если все три стороны отличаются, то треугольник ABC является разносторонним треугольником.

Таким образом, для треугольника ABC с координатами вершин A(3;4), B(5;8), C(9;6) он является разносторонним треугольником.

b) Чтобы найти координаты точки K, которая является медианой ВС, мы можем использовать формулу для нахождения координат точки, которая делит отрезок, соединяющий две заданные точки, в отношении 2:1.

Мы знаем, что точка K делит отрезок BC в отношении 2:1, поэтому координаты точки K можно найти следующим образом:

\[
x_K = \frac{{2 \cdot x_B + x_C}}{3} = \frac{{2 \cdot 5 + 9}}{3} = \frac{{10 + 9}}{3} = \frac{{19}}{3}
\]

\[
y_K = \frac{{2 \cdot y_B + y_C}}{3} = \frac{{2 \cdot 8 + 6}}{3} = \frac{{16 + 6}}{3} = \frac{{22}}{3}
\]

Таким образом, координаты точки K равны \(\left(\frac{{19}}{3}, \frac{{22}}{3}\right)\).

с) Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника по координатам его вершин. Формула для площади треугольника на плоскости:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \left| x_1 \cdot (y_2 - y_3) + x_2 \cdot (y_3 - y_1) + x_3 \cdot (y_1 - y_2) \right|
\]

Подставляя координаты вершин треугольника ABC, получим:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \left| 3 \cdot (8 - 6) + 5 \cdot (6 - 4) + 9 \cdot (4 - 8) \right|
= \frac{1}{2} \cdot \left| 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2 - 9 \cdot 4 \right|
= \frac{1}{2} \cdot \left| 6 + 10 - 36 \right|
= \frac{1}{2} \cdot \left| -20 \right|
= \frac{1}{2} \cdot 20
= 10
\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 10.

d) Коэффициент при прохождении через отрезок задает изменение значения \(y\) в зависимости от изменения значения \(x\). Для определения коэффициента прохождения через отрезок, можно использовать формулу:

\[
k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}
\]

Подставляя координаты вершин треугольника ABC, получим:

\[
k = \frac{{y_B - y_A}}{{x_B - x_A}} = \frac{{8 - 4}}{{5 - 3}} = \frac{{4}}{{2}} = 2
\]

Таким образом, коэффициент при прохождении через отрезок равен 2.