Какое значение имеет выражение sin=2x при условии sinx+cosx=0,5? Введите ответ

Ледяная_Душа

57

Дано уравнение \(\sin{x} + \cos{x} = 0.5\) и требуется найти значение выражения \(\sin^2{2x}\).

Для начала, давайте решим данное уравнение \(\sin{x} + \cos{x} = 0.5\).

Перенесем \(\sin{x}\) на другую сторону уравнения:

\(\cos{x} = 0.5 - \sin{x}\)

Теперь вспомним тригонометрическую формулу \(\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\), которая верна для всех значений \(x\).

Возведем обе части уравнения \(\cos{x} = 0.5 - \sin{x}\) в квадрат:

\((0.5 - \sin{x})^2 + \cos^2{x} = 1\)

Раскроем квадрат:

\(0.25 - \sin{x} + \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\)

Упростим выражение с использованием тригонометрической формулы:

\(0.25 + 2\sin^2{x} - 2\sin{x} = 1\)

Перегруппируем члены:

\(2\sin^2{x} - 2\sin{x} + 0.25 = 1\)

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

\(2\sin^2{x} - 2\sin{x} - 0.75 = 0\)

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно \(\sin{x}\).

Давайте решим его с помощью квадратного трехчлена.

Для начала, умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\(8\sin^2{x} - 8\sin{x} - 3 = 0\)

Теперь воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти значения \(\sin{x}\):

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где в нашем случае \(a = 8\), \(b = -8\), \(c = -3\).

\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 64 + 96 = 160\)

Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:

\(\sin{x}_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)

\(\sin{x}_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

\(\sin{x}_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{160}}{2 \cdot 8} = \frac{8 + 4\sqrt{10}}{16} = \frac{1 + \sqrt{10}}{2}\)

\(\sin{x}_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{160}}{2 \cdot 8} = \frac{8 - 4\sqrt{10}}{16} = \frac{1 - \sqrt{10}}{2}\)

Теперь, когда у нас есть значения \(\sin{x}\), можем найти значение \(\sin^2{(2x)}\).

Для этого воспользуемся формулой двойного угла в тригонометрии:

\(\sin^2{(2x)} = \frac{1 - \cos{(4x)}}{2}\)

Перейдем к выражению с \(\cos{(4x)}\).

Используем формулу двойного угла для \(\cos{(2x)}\):

\(\cos{(2x)} = 1 - 2\sin^2{x}\)

Тогда \(\cos{(4x)} = \cos{(2x + 2x)}\).

Используя формулу суммы для \(\cos\), получаем:

\(\cos{(4x)} = \cos^2{(2x)} - \sin^2{(2x)} = (1 - 2\sin^2{x})^2 - \sin^2{(2x)}\).

Теперь мы можем выразить \(\sin^2{(2x)}\) через известные значения:

\(\sin^2{(2x)} = \frac{1 - \cos{(4x)}}{2} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2{x})^2}{2}\).

Подставим значения \(\sin{x}_1\) и \(\sin{x}_2\) в это выражение:

\(\sin^2{(2x_1)} = \frac{1 - (1 - 2(\frac{1 + \sqrt{10}}{2})^2}{2} = \frac{1 - (1 - (1 + 2\sqrt{10} + 10))}{2}\)

\(\sin^2{(2x_2)} = \frac{1 - (1 - 2(\frac{1 - \sqrt{10}}{2})^2}{2} = \frac{1 - (1 - (1 - 2\sqrt{10} + 10))}{2}\)

Итак, ответом на задачу являются значения \(\sin^2{(2x_1)}\) и \(\sin^2{(2x_2)}\), которые можно вычислить используя приведенные выше формулы.