Какое значение индукции магнитного поля в точке м1, находящейся на расстоянии d от одного из проводников, можно

Вечная_Мечта

7

Чтобы вычислить значение индукции магнитного поля в точке \(m_1\), находящейся на расстоянии \(d\) от одного из проводников, нам понадобится использовать закон Био-Савара-Лапласа.

Закон Био-Савара-Лапласа устанавливает, что индукция магнитного поля \(B\), создаваемого элементом проводника с током, пропорциональна значению тока \(I\), длине элемента проводника \(dl\) и синусу угла \(\theta\) между вектором расстояния от элемента проводника до точки \(m_1\) и направлением тока. Формула для вычисления индукции магнитного поля закона Био-Савара-Лапласа имеет вид:

\[
dB = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{I\,dl\times\hat{r}}}{{r^2}}
\]

Где:
\(dB\) - индукция магнитного поля, создаваемого элементом проводника,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, Тл/А \cdot м\)),
\(I\) - ток, протекающий через проводник,
\(dl\) - элемент длины проводника,
\(\hat{r}\) - вектор единичной длины, направленный от элемента проводника к точке \(m_1\),
\(r\) - расстояние от элемента проводника до точки \(m_1\).

Чтобы вычислить индукцию магнитного поля в точке \(m_1\), необходимо просуммировать вклады всех элементов проводника. Формально это записывается в виде интеграла:

\[
B = \int{\frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{I\,dl\times\hat{r}}}{{r^2}}}
\]

Однако в данной задаче мы можем упростить интегрирование, заметив, что оба проводника находятся на одинаковом удалении \(a\) от точки \(m_1\). Таким образом, вклады обоих проводников будут равными. Поэтому мы можем вычислить индукцию магнитного поля только от одного проводника и умножить результат на 2.

Теперь перейдем к более конкретному решению задачи. Рассмотрим проводник, через который протекает ток \(i_1\), находящийся на расстоянии \(a\) от точки \(m_1\). Обозначим через \(L_1\) длину этого проводника.

Для удобства вычислений, представим проводник как набор элементов длины \(dl\) соответствующей длине проводника \(L_1\). Тогда длина каждого элемента может быть записана как \(dl = \frac{{L_1}}{{N}}\), где \(N\) - количество элементов проводника.

Теперь можем записать интеграл для вычисления индукции магнитного поля от элемента проводника:

\[
dB = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{i_1\,dl\times\hat{r}}}{{r^2}}
\]

Здесь \(i_1\) - ток, протекающий через элемент проводника, \(dl\) - элемент длины проводника, \(\hat{r}\) - вектор единичной длины, направленный от элемента проводника к точке \(m_1\), \(r\) - расстояние от элемента проводника до точки \(m_1\).

Так как проводник находится на равном удалении \(a\) от точки \(m_1\), то расстояние \(r\) одинаково для всех элементов проводника.

Теперь можем записать интеграл для вычисления индукции магнитного поля от всего проводника:

\[
B = \int{\frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{i_1\,dl\times\hat{r}}}{{r^2}}} = \int{\frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{i_1\,\frac{{L_1}}{{N}}\times\hat{r}}}{{r^2}}}
\]

Разложим вектор \(\hat{r}\) на компоненты:
\(\hat{r} = \cos(\theta)\,\hat{s} + \sin(\theta)\,\hat{n}\),
где \(\hat{s}\) - единичный вектор, направленный вдоль проводника, \(\hat{n}\) - единичный вектор, перпендикулярный проводнику и плоскости, в которой находится точка \(m_1\), \(\theta\) - угол между проводником и вектором \(\hat{r}\).

Таким образом, векторное произведение \(dl\times\hat{r}\) можно записать как:
\[
dl\times\hat{r} = \left|\begin{matrix} dl_s & dl_n & dl_t \\ \hat{s} & \hat{n} & \hat{t} \\ \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \end{matrix}\right|
\]

где \(dl_s\), \(dl_n\) и \(dl_t\) - компоненты элемента длины \(dl\) вдоль проводника, векторе \(\hat{n}\) и поперек проводника соответственно, \(\hat{t}\) - единичный вектор, лежащий в плоскости проводника и перпендикулярный вектору \(\hat{n}\).

Теперь подставим полученное выражение для \(dl\times\hat{r}\) в формулу для индукции магнитного поля:

\[
B = \int_{0}^{L_1}\frac{{\mu_0}}{{4\pi}}\frac{{i_1\,\frac{{L_1}}{{N}}\times\hat{r}}}{{r^2}}
\]

\[
B = \frac{{\mu_0\,i_1}}{{4\pi\,r^2}}\int_{0}^{L_1}{\left|\begin{matrix} dl_s & dl_n & dl_t \\ \hat{s} & \hat{n} & \hat{t} \\ \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \end{matrix}\right|}
\]

\[
B = \frac{{\mu_0\,i_1}}{{4\pi\,r^2}}\int_{0}^{L_1}{dl_s\,\hat{t}\sin(\theta)}
\]

Заметим, что расстояние \(r\) одинаково для всех элементов проводника и не зависит от \(dl_s\).

Так как \(dl_s = \hat{s}\,dl\), то:

\[
B = \frac{{\mu_0\,i_1}}{{4\pi\,r^2}}\int_{0}^{L_1}{\hat{s}\cdot\hat{t}\sin(\theta)\,dl}
\]

Теперь рассмотрим интеграл следующего вида:

\[
\int_{0}^{L_1}{\hat{s}\cdot\hat{t}\sin(\theta)\,dl}
\]

В данном случае \(\hat{s}\) и \(\hat{t}\) - единичные векторы, ортогональные друг другу, так как \(\hat{t}\) лежит в плоскости проводника, а \(\hat{s}\) перпендикулярен этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю (\(\hat{s}\cdot\hat{t} = 0\)).

Таким образом, интеграл равен нулю и мы получаем:

\[
B = 0
\]

Таким образом, значение индукции магнитного поля в точке \(m_1\) будет равно нулю при данных условиях. Это означает, что магнитное поле, создаваемое проводниками с токами \(i_1\) и \(i_2\), компенсируется в этой точке и равно нулю.