Какое значение коэффициента a приводит к минимальному значению функции y=3x^2-6x+a?

Vitalyevna

22

Хорошо, чтобы найти коэффициент \(a\), который приводит к минимальному значению функции \(y = 3x^2 - 6x + a\), мы должны использовать метод завершения квадрата.

Шаг 1: Запишем функцию в виде квадратного трехчлена.
В данном случае, мы имеем квадратичную функцию \(y = 3x^2 - 6x + a\), где коэффициент при \(x^2\) равен 3, коэффициент при \(x\) равен -6 и свободный член равен \(a\).

Шаг 2: Добавим и вычтем подходящее число внутри скобки, чтобы завершить квадрат.
Чтобы завершить квадрат для \((3x^2 - 6x)\), мы должны добавить и вычесть \((-\frac{6}{2})^2 = 9\) внутри выражения. Формула для вычисления этого числа - \((\frac{b}{2a})^2\), где \(b\) - коэффициент при \(x\), а \(a\) - коэффициент при \(x^2\). В нашем случае, \(b = -6\) и \(a = 3\), поэтому \((-\frac{6}{2\cdot3})^2 = 9\).

Таким образом, мы можем переписать функцию следующим образом: \(y = 3x^2 - 6x + 9 -9 + a\).

Шаг 3: Разложим выражение внутри скобки на квадратный трехчлен и отдельно взятый член.
\(y = (3x^2 - 6x + 9) - 9 + a\).

Шаг 4: Упростим квадратный трехчлен в скобках.
\((3x^2 - 6x + 9)\) - это квадратный трехчлен \((ax - b)^2\), который равен \((\sqrt{a}x - \sqrt{b})^2\). В нашем случае, \(\sqrt{a} = \sqrt{3}\) и \(\sqrt{b} = 3\), поэтому \((3x^2 - 6x + 9) = (\sqrt{3}x - 3)^2\).

Таким образом, функцию можно записать следующим образом: \(y = (\sqrt{3}x - 3)^2 - 9 + a\).

Шаг 5: Найдем минимальное значение функции.
Минимальное значение функции будет достигаться, когда квадратный трехчлен \((\sqrt{3}x - 3)^2\) равен нулю, так как квадрат всегда неотрицателен. Поэтому мы должны получить \((\sqrt{3}x - 3)^2 = 0\). Решим это уравнение:

\((\sqrt{3}x - 3)^2 = 0\)
\(\sqrt{3}x - 3 = 0\)
\(\sqrt{3}x = 3\)
\(x = \frac{3}{\sqrt{3}}\)
\(x = \sqrt{3}\)

Теперь найдем значение \(y\) при \(x = \sqrt{3}\):
\(y = (\sqrt{3}x - 3)^2 - 9 + a\)
\(y = (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 3)^2 - 9 + a\)
\(y = 0 - 9 + a\)
\(y = a - 9\)

Таким образом, минимальное значение функции будет равно \(a - 9\) при \(x = \sqrt{3}\).

Теперь приведем ответ:

Значение коэффициента \(a\), которое приводит к минимальному значению функции \(y = 3x^2 - 6x + a\), равно \(a - 9\) при \(x = \sqrt{3}\).