Какое значение m делает векторы a и b: 1)Коллинеарными 2)Перпендикулярными?

Nikolay

33

Для ответа на вопрос о коллинеарных и перпендикулярных векторах, давайте разберемся с каждым случаем пошагово.

1) Коллинеарные векторы:
Два вектора называются коллинеарными, если они направлены в одном и том же направлении или в противоположных направлениях. Нам нужно найти значение m, при котором векторы a и b будут коллинеарными.

Предположим, что вектор a имеет компоненты \( a_x \) и \( a_y \), а вектор b имеет компоненты \( b_x \) и \( b_y \).

Чтобы векторы a и b были коллинеарными, их компоненты должны быть пропорциональны. То есть, отношение каждой компоненты вектора a к соответствующей компоненте вектора b должно быть одинаковым.

Математически это может быть представлено как:
\[ \frac{{a_x}}{{b_x}} = \frac{{a_y}}{{b_y}} \]

Применив это к нашей задаче, получим:
\[ \frac{{2m}}{{3}} = \frac{{-4}}{{5}} \]

Теперь мы можем решить эту пропорцию и найти значение m. Умножим значения на кросс-множители, чтобы избавиться от дробей:
\[ 2m \cdot 5 = 3 \cdot -4 \]
\[ 10m = -12 \]
\[ m = -\frac{{12}}{{10}} = -\frac{{6}}{{5}} \]

Таким образом, значение m, при котором векторы a и b коллинеарны, равно -\(\frac{{6}}{{5}}\).

2) Перпендикулярные векторы:
Два вектора называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Нам нужно найти значение m, при котором векторы a и b будут перпендикулярными.

Скалярное произведение векторов a и b можно выразить следующим образом:
\[ a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \]

Подставим значения компонент векторов a и b и получим:
\[ 2m \cdot 5 + 3 \cdot (-4) = 0 \]

Решим это уравнение для m:
\[ 10m - 12 = 0 \]
\[ 10m = 12 \]
\[ m = \frac{{12}}{{10}} = \frac{{6}}{{5}} \]

Таким образом, значение m, при котором векторы a и b перпендикулярны, равно \(\frac{{6}}{{5}}\).

Данные решения демонстрируют, как значения m влияют на свойства векторов a и b. При m = -\(\frac{{6}}{{5}}\) векторы становятся коллинеарными, а при m = \(\frac{{6}}{{5}}\) они становятся перпендикулярными.