Решите следующее уравнение: 2/x + 2 - 10/4 - (x^2 + 1) / (1x - 2) = 0. Найдите область определения этого дробного

Okean

27

Начнем с решения уравнения. Давайте постепенно рассмотрим каждый шаг.

Уравнение, которое нам нужно решить, выглядит следующим образом:

\[\frac{2}{x} + 2 - \frac{10}{4} - \frac{x^2 + 1}{(1x - 2)} = 0.\]

Для того чтобы решить это уравнение, нужно провести несколько действий. Давайте рассмотрим каждое действие по отдельности.

1. Сначала упростим числитель последней дроби:

\[\frac{x^2 + 1}{(1x - 2)} = \frac{x^2 + 1}{x - 2}.\]

2. Затем возьмем общий знаменатель для всех дробей. Умножим первую дробь на \(\frac{4(x - 2)}{4(x - 2)}\), вторую дробь на \(\frac{x - 2}{x - 2}\) и третью дробь на \(\frac{4(x - 2)}{4(x - 2)}\):

\[\frac{2}{x} \cdot \frac{4(x - 2)}{4(x - 2)} + 2 \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{10}{4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x^2 + 1}{x - 2} = 0.\]

3. Теперь объединим все части выражения:

\[\frac{8(x - 2) + 2(x - 2) - 10 \cdot (x - 2) - (x^2 + 1)}{x - 2} = 0.\]

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[\frac{8x - 16 + 2x - 4 - 10x + 20 - x^2 - 1}{x - 2} = 0.\]

\[\frac{-x^2 + 10x - 1}{x - 2} = 0.\]

5. Перенесем все слагаемые влево:

\[-x^2 + 10x - 1 = 0.\]

6. Перепишем уравнение в стандартной форме:

\[x^2 - 10x + 1 = 0.\]

Теперь перейдем к нахождению области определения этого дробного уравнения. Область определения (Д) - это множество значений переменной, при которых уравнение имеет смысл.

В данном случае, так как у нас нет знаменателей с переменными, область определения состоит из всех реальных чисел (Д = R). Значит, \(D=R\).

Наконец, найдем корни этого дробного уравнения. Корни уравнения - это значения переменной, при которых уравнение выполняется (равенство обнуляется). Для этого решим полученное квадратное уравнение.

Можем использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта. Подставим значения \(a=1\), \(b=-10\), и \(c=1\) в формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 100 - 4 = 96.\]

Так как дискриминант (\(D\)) больше нуля, у нас два действительных корня.

Теперь, используя формулу корней квадратного уравнения, найдем значения \(x_1\) и \(x_2\):

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}.\]

Таким образом, корни дробного уравнения равны:
\(x = 5 + 2\sqrt{6}\) и \(x = 5 - 2\sqrt{6}\).

Проверим найденные корни подстановкой:

Для \(x = 5 + 2\sqrt{6}\):
\[\frac{2}{x} + 2 - \frac{10}{4} - \frac{x^2 + 1}{(1x - 2)} = \frac{2}{5 + 2\sqrt{6}} + 2 - \frac{10}{4} - \frac{(5 + 2\sqrt{6})^2 + 1}{(1(5 + 2\sqrt{6}) - 2)} = 0.\]
\[\frac{2}{5 + 2\sqrt{6}} + 2 - \frac{10}{4} = 0.\]
\[\frac{2}{5 + 2\sqrt{6}} + \frac{8}{4} - \frac{10}{4} = 0.\]
\[\frac{2}{5 + 2\sqrt{6}} - \frac{2}{4} = 0.\]
\[\frac{2}{5 + 2\sqrt{6}} - \frac{1}{2} = 0.\]

Для \(x = 5 - 2\sqrt{6}\):
\[\frac{2}{x} + 2 - \frac{10}{4} - \frac{x^2 + 1}{(1x - 2)} = \frac{2}{5 - 2\sqrt{6}} + 2 - \frac{10}{4} - \frac{(5 - 2\sqrt{6})^2 + 1}{(1(5 - 2\sqrt{6}) - 2)} = 0.\]
\[\frac{2}{5 - 2\sqrt{6}} + 2 - \frac{10}{4} = 0.\]
\[\frac{2}{5 - 2\sqrt{6}} + \frac{8}{4} - \frac{10}{4} = 0.\]
\[\frac{2}{5 - 2\sqrt{6}} - \frac{2}{4} = 0.\]
\[\frac{2}{5 - 2\sqrt{6}} - \frac{1}{2} = 0.\]

Таким образом, оба найденных значения \(x\) удовлетворяют исходному уравнению.

Итак, решение данного дробного уравнения: \(x = 5 + 2\sqrt{6}\) и \(x = 5 - 2\sqrt{6}\).

Надеюсь, объяснение было подробным и понятным. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!