Какое значение m позволит данной системе уравнений иметь только одно решение, не иметь решений или иметь бесконечное

Ledyanaya_Skazka

36

Чтобы определить, какое значение m позволит данной системе уравнений иметь только одно решение, не иметь решений или иметь бесконечное количество решений, мы можем воспользоваться правилом Крамера или способом решения методом определителей.

Для начала напишем систему уравнений:
\[ \begin{cases} mx-3y=6 \\ 2x-y=2 \end{cases} \]

Применим метод определителей. Для этого вычислим определитель главной матрицы \( D \):
\[ D = \begin{vmatrix} m & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot m - (-3) \cdot 2 = -m + 6 \]

Теперь вычислим определитель матрицы, полученной путем замены столбца свободных членов коэффициентами при \( x \):
\[ D_x = \begin{vmatrix} 6 & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 6 - (-3) \cdot 2 = 0 \]

Также вычислим определитель матрицы, полученной путем замены столбца коэффициентов \( x \) коэффициентами при \( y \):
\[ D_y = \begin{vmatrix} m & 6 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2m - 12 \]

Итак, по правилу Крамера:

1. Если \( D \neq 0 \) (то есть определитель главной матрицы не равен нулю), то система имеет единственное решение, которое может быть найдено с помощью формулы \( x = \frac{D_x}{D} \) и \( y = \frac{D_y}{D} \).
2. Если \( D = 0 \) и хотя бы один из определителей \( D_x \) или \( D_y \) не равен нулю, то система не имеет решений.
3. Если \( D = 0 \) и оба определителя \( D_x \) и \( D_y \) равны нулю, то система имеет бесконечное количество решений.

Теперь рассмотрим эти три случая по отдельности:

1. Если \( D \neq 0 \), то система имеет только одно решение. Чтобы найти значения \( x \) и \( y \), мы используем формулы:
\[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{0}{-m+6} = 0 \]
\[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{2m-12}{-m+6} \]

2. Если \( D = 0 \) и \( D_x \neq 0 \) или \( D_y \neq 0 \), то система не имеет решений.

3. Если \( D = 0 \) и \( D_x = 0 \) и \( D_y = 0 \), то система имеет бесконечное количество решений. В этом случае, каждое значение \( x \) будет соответствовать некоторому значению \( y \), удовлетворяющему обоим уравнениям.

Таким образом, мы можем заключить, что значение m, при котором система будет иметь только одно решение, не будет иметь решений или будет иметь бесконечное количество решений, будет зависеть от значения определителя \( D \).

Обратите внимание, что если в списке решений встретится бесконечное количество решений, то сразу в ответе напишите это.