1) Какие значения функции у=х^2+4х являются наибольшими и наименьшими на промежутке [-3; 0]? 2) Нужно исследовать

Зимний_Вечер

59

1) Чтобы найти наибольшие и наименьшие значения функции \(y = x^2 + 4x\) на промежутке \([-3; 0]\), нам нужно найти экстремумы функции на этом промежутке, а именно, максимумы и минимумы.

Для начала найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:

\[
\frac{dy}{dx} = 2x + 4
\]

Приравняем \(2x + 4\) к нулю:

\[
2x + 4 = 0
\]

Отсюда получаем:

\[
2x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]

Теперь найдем значения функции \(y\) при \(x = -3\), \(x = -2\) и \(x = 0\) и сравним их, чтобы определить, какие значения являются наибольшими и наименьшими.

Подставим \(x = -3\):

\[
y = (-3)^2 + 4(-3) = 9 - 12 = -3
\]

Подставим \(x = -2\):

\[
y = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4
\]

Подставим \(x = 0\):

\[
y = (0)^2 + 4(0) = 0
\]

Таким образом, на промежутке \([-3; 0]\) наименьшим значением функции является \(-4\) при \(x = -2\), а наибольшим значением функции является \(0\) при \(x = 0\).

2) Давайте исследуем функцию \(y = \frac{5x^2}{x^2 - 7}\) на четность.

Чтобы проверить, является ли функция четной, нужно убедиться, что \(y(-x) = y(x)\) для любого значения \(x\) в области определения функции.

Подставим \(-x\) вместо \(x\) в функцию:

\[
y(-x) = \frac{5(-x)^2}{(-x)^2 - 7} = \frac{5x^2}{x^2 - 7}
\]

Теперь сравним это с исходной функцией \(y(x)\):

\[
y(x) = \frac{5x^2}{x^2 - 7}
\]

Заметим, что \(y(-x) = y(x)\), следовательно функция является четной.

Теперь рассмотрим функцию \(y = \frac{|x + 3| - |x - 3|}{x^2}\) и проверим ее на четность.

Подставим \(-x\) вместо \(x\) в функцию:

\[
y(-x) = \frac{|(-x) + 3| - |(-x) - 3|}{(-x)^2} = \frac{|-x + 3| - |-x - 3|}{x^2}
\]

Теперь сравним это с исходной функцией \(y(x)\):

\[
y(x) = \frac{|x + 3| - |x - 3|}{x^2}
\]

Заметим, что \(y(-x) \neq y(x)\), следовательно функция не является четной.

Надеюсь, эти объяснения и решения помогли вам понять данные задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь вам со школьными вопросами.