Какое значение n должно быть, если известно, что (√8)^n*(√75)^n/10^n=1/6√6?

Aleksandrovich

48

Давайте рассмотрим данное выражение пошагово и найдем значение переменной n.

Имеется выражение: \(\frac {(\sqrt{8})^n \cdot (\sqrt{75})^n}{10^n} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

1. Раскроем скобки в выражении: \(\frac {8^n \cdot 75^n}{10^n} = \frac{1}{6\sqrt{6}}\)

2. Упростим числитель: \(8^n \cdot 75^n = \frac{1}{6\sqrt{6}} \cdot 10^n\)

3. Заметим, что \(8 = 2^3\) и \(75 = 3 \cdot 5^2\). Воспользуемся этими обозначениями и упростим числитель:

\((2^3)^n \cdot (3 \cdot 5^2)^n = \frac{1}{6\sqrt{6}} \cdot 10^n\)

\(2^{3n} \cdot 3^n \cdot 5^{2n} = \frac{1}{6\sqrt{6}} \cdot 10^n\)

4. Выразим \(10^n\) через \(2^{3n}\) и \(5^{2n}\). Заметим, что \(10 = 2 \cdot 5\):

\(2^{3n} \cdot 3^n \cdot 5^{2n} = \frac{1}{6\sqrt{6}} \cdot (2 \cdot 5)^n\)

\(2^{3n} \cdot 3^n \cdot 5^{2n} = \frac{1}{6\sqrt{6}} \cdot 2^n \cdot 5^n\)

5. Сократим общие множители \(2^{3n}\), \(3^n\) и \(5^{2n}\):

\(1 = \frac{1}{6\sqrt{6}} \cdot 2^n \cdot 5^n\)

6. Упростим дробь в правой части:

\(1 = \frac{2^n \cdot 5^n}{6\sqrt{6}}\)

7. Заметим, что \(\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}\). Возведем обе части выражения в квадрат:

\(1^2 = \left(\frac{2^n \cdot 5^n}{6^{\frac{1}{2}}}\right)^2\)

\(1 = \frac{(2^n \cdot 5^n)^2}{6}\)

\(1 = \frac{2^{2n} \cdot 5^{2n}}{6}\)

8. Упростим числитель:

\(1 = \frac{2^{2n} \cdot 5^{2n}}{6}\)

\(1 = \frac{4^n \cdot 25^n}{6}\)

9. Упростим дробь, поделив числитель на знаменатель:

\(1 = \frac{4^n \cdot 25^n}{6}\)

\(6 = 4^n \cdot 25^n\)

10. Заметим, что \(4 = 2^2\) и \(25 = 5^2\). Воспользуемся этими обозначениями:

\(6 = (2^2)^n \cdot (5^2)^n\)

\(6 = 2^{2n} \cdot 5^{2n}\)

11. Выразим 6 через \(2^{2n}\) и \(5^{2n}\):

\(6 = 2^{2n} \cdot 5^{2n}\)

12. Теперь мы получили уравнение, которое можно решить методом подстановки или анализа:

Попробуем значение \(n = 1\):

\(2^2 \cdot 5^2 = 6\)

\(4 \cdot 25 = 100\)

Это уравнение верно.

Следовательно, значение n, при котором исходное уравнение выполняется, равно 1.