Какое значение параметра b приводит к отсутствию корней в данном уравнении? Пожалуйста, объясните свое решение

Борис

25

Решим данное уравнение и найдем значение параметра b, при котором уравнение не будет иметь корней.

Данное уравнение является квадратным уравнением вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где:
\(a = 2b\),
\(b = 2\),
\(c = b^2 - 0.5b\).

Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант \(D\) должен быть отрицательным. Дискриминант можно найти по формуле: \(D = b^2 - 4ac\).

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу для дискриминанта:
\(D = (2)^2 - 4(2b)(b^2 - 0.5b)\).

Раскроем скобки и упростим выражение:
\(D = 4 - 8b^3 + 4b^2 + 2b^2 - b\).

Сгруппируем подобные слагаемые:
\(D = -8b^3 + 6b^2 - b + 4\).

Чтобы уравнение не имело корней, дискриминант \(D\) должен быть отрицательным. То есть, \(D < 0\).

Решим неравенство \(D < 0\):
\(-8b^3 + 6b^2 - b + 4 < 0\).

Так как это кубическое неравенство, нам нужно найти интервалы, где функция меньше нуля. Для этого нам понадобится график функции.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
b & D \\
\hline
0 & 4 \\
\hline
1 & 1 \\
\hline
-1 & -10 \\
\hline
\end{array}
\]

Из графика видно, что дискриминант меньше нуля в интервале \((-1, 0)\). Значит, значение параметра \(b\) должно находиться в этом интервале, чтобы уравнение не имело корней.

Таким образом, ответом на задачу будет: значение параметра \(b\) приводит к отсутствию корней в данном уравнении, если \(b\) принадлежит интервалу \((-1, 0)\).