Какое значение параметра b приводит к отсутствию корней в данном уравнении? Пожалуйста, объясните свое решение

Борис

25

Решим данное уравнение и найдем значение параметра b, при котором уравнение не будет иметь корней.

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $a{x}^2+bx+c=0$, где:
$a=2b$,
$b=2$,
$c=b^2-0.5b$.

Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант $D$ должен быть отрицательным. Дискриминант можно найти по формуле: $D=b^2-4ac$.

Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в формулу для дискриминанта:
$D=(2{)}^2-4(2b)(b^2-0.5b)$.

Раскроем скобки и упростим выражение:
$D=4-8b^3+4b^2+2b^2-b$.

Сгруппируем подобные слагаемые:
$D=-8b^3+6b^2-b+4$.

Чтобы уравнение не имело корней, дискриминант $D$ должен быть отрицательным. То есть, $D<0$.

Решим неравенство $D<0$:
$-8b^3+6b^2-b+4<0$.

Так как это кубическое неравенство, нам нужно найти интервалы, где функция меньше нуля. Для этого нам понадобится график функции.

$$\begin{array}{|cc|}\hline b& D\\ 0& 4\\ 1& 1\\ -1& -10\\ \hline\end{array}$$

Из графика видно, что дискриминант меньше нуля в интервале $(-1,0)$. Значит, значение параметра $b$ должно находиться в этом интервале, чтобы уравнение не имело корней.

Таким образом, ответом на задачу будет: значение параметра $b$ приводит к отсутствию корней в данном уравнении, если $b$ принадлежит интервалу $(-1,0)$.