Какое значение x удовлетворяет неравенству log23(81−x2)−7log3(81−x2)+12≥0?

Космическая_Следопытка

61

Конечно! Давайте решим данное неравенство пошагово.

Неравенство имеет вид: \(\log_{2/3} (81 - x^2) - 7\log_{2/3} (81 - x^2) + 12 \geq 0\).

Для начала, давайте заменим \(\log_{2/3}\) на переменную \(t\): \(t = \log_{2/3}(81 - x^2)\). Теперь выражение принимает следующий вид: \(t - 7t + 12 \geq 0\).

Сокращаем подобные слагаемые: \(-6t + 12 \geq 0\).

Переносим 12 на другую сторону неравенства: \(-6t \geq -12\).

Делим обе части неравенства на -6. Важно помнить, что при делении на отрицательное число инвертируется знак неравенства: \(t \leq 2\).

Теперь нам нужно выразить \(x\) из уравнения \(t = \log_{2/3}(81 - x^2)\).

Для этого применим свойство логарифма: \(b^{\log_{b}(x)} = x\).

В нашем случае получаем: \((81 - x^2) = \left(\frac{2}{3}\right)^2\).

Решаем полученное уравнение: \(81 - x^2 = \frac{4}{9}\). Переносим \(\frac{4}{9}\) на другую сторону: \(81 - x^2 - \frac{4}{9} = 0\).

Собираем все слагаемые в одну дробь: \(\frac{729 - 9x^2 - 4}{9} = 0\).

Упрощаем дробь: \(\frac{725 - 9x^2}{9} = 0\).

Умножаем обе части уравнения на 9: \(725 - 9x^2 = 0\).

Переносим 725 на другую сторону: \(-9x^2 = -725\).

Делим обе части уравнения на -9. Не забываем об инвертировании знака неравенства: \(x^2 = \frac{-725}{-9}\).

Выполняем вычисления: \(x^2 = \frac{725}{9}\).

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон: \(x = \pm \sqrt{\frac{725}{9}} = \pm \frac{\sqrt{725}}{3}\).

Таким образом, решением данного неравенства являются значения \(x = \frac{\sqrt{725}}{3}\) и \(x = -\frac{\sqrt{725}}{3}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что при вычислениях было использовано условие \(t \leq 2\), чтобы найти значения \(x\).