Какое значение x удовлетворяет уравнению 3x^2-2x-13+40/3x^2-2x=0?

Яхонт_3680

10

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Для начала, складываются числители и знаменатели в уравнении:

\[
3x^2 - 2x - 13 + \frac{40}{3x^2 - 2x} = 0
\]

Для удобства приведем дробь к общему знаменателю:

\[
3x^2 - 2x - 13 + \frac{40}{3x^2 - 2x} \cdot \frac{3x^2 - 2x}{3x^2 - 2x} = 0
\]

\[
3x^2 - 2x - 13 + \frac{120x^2 - 80x}{3x^2 - 2x} = 0
\]

Теперь объединим числа и дроби в одно выражение:

\[
\frac{(3x^2 - 2x)(3x^2 - 2x) - (13)(3x^2 - 2x) + (120x^2 - 80x)}{3x^2 - 2x} = 0
\]

\[
\frac{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 + 23x^2 - 26x - 13}{3x^2 - 2x} = 0
\]

Далее, упростим числитель:

\[
\frac{9x^4 - 12x^3 + 27x^2 - 26x - 13}{3x^2 - 2x} = 0
\]

Мы получили дробь, равную нулю. Теперь рассмотрим два случая:

1. Если знаменатель равен нулю, то уравнение не имеет решений. Определение значений, при которых знаменатель равен нулю, поможет нам найти такие значения. Факторизуем знаменатель:

\[
3x^2 - 2x = 0
\]

\[
x(3x - 2) = 0
\]

\[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{2}{3}
\]

Таким образом, значения \(x = 0\) или \(x = \frac{2}{3}\) являются исключительными точками.

2. Если числитель равен нулю, то уравнение имеет решение. Решим числитель уравнения:

\[
9x^4 - 12x^3 + 27x^2 - 26x - 13 = 0
\]

Это уравнение четвертой степени, и его решение может быть достаточно сложным и требовать применения численных методов или использование специальных формул. В данном случае, чтобы найти рациональные корни, мы можем воспользоваться методом подбора значений. Подставим некоторые значения \(x\) и найдем такое значение, для которого числитель равен нулю:

\[
x = -1: \quad 9(-1)^4 - 12(-1)^3 + 27(-1)^2 - 26(-1) - 13 = -5
\]

\[
x = -2: \quad 9(-2)^4 - 12(-2)^3 + 27(-2)^2 - 26(-2) - 13 = 135
\]

\[
x = -3: \quad 9(-3)^4 - 12(-3)^3 + 27(-3)^2 - 26(-3) - 13 = -365
\]

\[
x = 1: \quad 9(1)^4 - 12(1)^3 + 27(1)^2 - 26(1) - 13 = 5
\]

\[
x = 2: \quad 9(2)^4 - 12(2)^3 + 27(2)^2 - 26(2) - 13 = 459
\]

И так далее. Методом подбора мы можем найти, что \(x = -1\) является рациональным корнем этого уравнения.

Таким образом, рациональным корнем этого уравнения является \(x = -1\).

В итоге, решением исходного уравнения является:

\[
x = 0, \quad x = \frac{2}{3}, \quad \text{и} \quad x = -1
\]

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи шаг за шагом. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!