Каков будет новый период колебаний Т, если расстояние между пластинами уменьшить в 8 раз и пространство между ними

Yakor

9

Данная задача связана с электростатикой и электродинамикой. Для ее решения необходимо использовать формулу периода колебаний \( T \) для конденсатора:

\[ T = 2 \pi \sqrt{L C} \]

где \( L \) - индуктивность, \( C \) - емкость конденсатора.

У нас имеется конденсатор с пластинами и диэлектриком между ними. Для решения задачи, нужно использовать формулу для емкости конденсатора:

\[ C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d} \]

где \( \varepsilon_0 \) - электрическая постоянная (8,85x10\(^{-12}\) Ф/м), \( \varepsilon_r \) - относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика (в данном случае 2), \( S \) - площадь пластин конденсатора, \( d \) - расстояние между пластинами.

В условии задачи указано, что расстояние между пластинами уменьшается в 8 раз, поэтому новое расстояние будет \( \frac{d}{8} \).

Подставим эти значения в формулу для емкости:

\[ C" = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{\frac{d}{8}} = 8 \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} \]

Таким образом, новая емкость конденсатора равна 8 раз больше исходной емкости.

Теперь мы можем подставить новую емкость в формулу для периода колебаний:

\[ T" = 2 \pi \sqrt{L C"} = 2 \pi \sqrt{L \cdot 8 \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d}} \]

Учитывая, что изначально период колебаний \( T \), а не емкость \( C \), мы можем представить исходный период колебаний следующим образом:

\[ T = 2 \pi \sqrt{L C} = 2 \pi \sqrt{L \cdot \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d}} \]

Теперь сравним получившиеся выражения для нового и исходного периода колебаний:

\[ T" = 2 \pi \sqrt{L \cdot 8 \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d}} \]

\[ T = 2 \pi \sqrt{L \cdot \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d}} \]

Выражения отличаются только в коэффициенте перед \( \varepsilon_0 \varepsilon_r \). Заметим, что \( 8 \varepsilon_0 \varepsilon_r = 8 \cdot 2 \cdot 8,85 \times 10^{-12} \times 2 = 2,8 \times 10^{-10} \).

Теперь найдем отношение нового периода колебаний к исходному:

\[ \frac{T"}{T} = \frac{2 \pi \sqrt{L \cdot 8 \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d}}}{2 \pi \sqrt{L \cdot \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d}}} = \sqrt{\frac{8 \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d}}{\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d}}} = \sqrt{\frac{8}{1}} = 2 \]

Таким образом, новый период колебаний \( T" \) будет в 2 раза больше исходного периода колебаний \( T \).

Ответ: новый период колебаний \( T" \) равен двум исходным периодам колебаний \( T \). То есть, если исходный период колебаний \( T \) был равен, например, 5 миллисекундам, то новый период колебаний \( T" \) будет равен 10 миллисекундам.