Какой период полураспада у второго изотопа, если в начальный момент времени t0=0 число ядер первого изотопа равно

Магический_Самурай

5

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начальное количество ядер первого изотопа равно \(N_{10} = 1.6 \times 10^{11}\).
2. Начальное количество ядер второго изотопа равно \(N_{20} = 4 \times 10^{10}\).
3. Распавшееся количество ядер второго изотопа спустя время \(\Delta t = 6\) секунд оказалось равным количеству еще не распавшихся ядер первого изотопа.

Для решения задачи, нам необходимо знать время полураспада первого и второго изотопов. Период полураспада обозначается символом \(T\).

Пусть \(N_1(t)\) и \(N_2(t)\) - количество ядер первого и второго изотопов соответственно.

Используя закон радиоактивного распада, у нас есть следующие уравнения:

\[
N_1(t) = N_{10} \cdot 2^{-\frac{t}{T_1}}
\]

\[
N_2(t) = N_{20} \cdot 2^{-\frac{t}{T_2}}
\]

Где \(T_1\) и \(T_2\) - периоды полураспада первого и второго изотопов соответственно.

Так как спустя время \(\Delta t\) количество распавшихся ядер второго изотопа оказалось равным количеству еще не распавшихся ядер первого изотопа, мы можем поставить следующее условие:

\[
N_2(\Delta t) = N_{10} - N_1(\Delta t)
\]

Подставим выражения для \(N_1(\Delta t)\) и \(N_2(\Delta t)\) в это уравнение:

\[
N_{20} \cdot 2^{-\frac{\Delta t}{T_2}} = N_{10} - N_{10} \cdot 2^{-\frac{\Delta t}{T_1}}
\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(T_2\). Для этого проведем несколько алгебраических преобразований:

\[
2^{-\frac{\Delta t}{T_2}} = 1 - 2^{-\frac{\Delta t}{T_1}} \cdot \frac{N_{10}}{N_{20}}
\]

Возведем обе части уравнения в степень \(-T_2 \cdot \Delta t\):

\[
1 - 2^{-\frac{\Delta t}{T_1}} \cdot \frac{N_{10}}{N_{20}} = 2^{-T_2 \cdot \Delta t}
\]

Возьмем логарифм от обеих частей уравнения по основанию 2:

\[
\log_2\left(1 - 2^{-\frac{\Delta t}{T_1}} \cdot \frac{N_{10}}{N_{20}}\right) = -T_2 \cdot \Delta t
\]

Теперь мы можем найти период полураспада второго изотопа \(T_2\), подставив значения в это уравнение и решив его численно.

Используйте калькулятор, чтобы посчитать это значение.

Я надеюсь, этот ответ поможет вам понять решение данной задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.