Каков будет радиус капли, в которую слились восемь капель радиусом r (со значением 27, 64, 125)?

Петрович

32

Чтобы определить радиус капли, в которую слились восемь капель с заданными радиусами \(r\), мы можем использовать формулу для объема капли и выразить радиус через данное уравнение.

Объем капли определяется формулой для объема шара:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Если восемь капель радиусом \(r\) слились в одну каплю, то их объемы складываются. Так как у нас восемь капель, значит, у нас будет восемь разных объемовно \(V_1, V_2, V_3, ..., V_8\).

Тогда объем получившейся капли будет равен:

\[V_{total} = V_1 + V_2 + V_3 + ... + V_8\]

Мы знаем, что каждая капля имеет радиус \(r\), поэтому объем каждой капли будет равен \(\frac{4}{3}\pi r^3\).

Теперь мы можем выразить радиус получившейся капли из уравнения:

\[V_{total} = \frac{4}{3}\pi r^3 + \frac{4}{3}\pi r^3 + \frac{4}{3}\pi r^3 + ... + \frac{4}{3}\pi r^3\]

У нас есть восемь одинаковых слагаемых, поэтому мы можем записать это как:

\[V_{total} = 8 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\]

Теперь мы можем решить это уравнение, выразив радиус капли:

\[r_{total} = \sqrt[3]{\frac{V_{total}}{\frac{4}{3}\pi \cdot 8}}\]

Подставим значения радиусов капель \(r = 27, 64, 125\) в это уравнение для получения радиуса слившейся капли:

\[r_{total} = \sqrt[3]{\frac{V_{total}}{\frac{4}{3}\pi \cdot 8}} = \sqrt[3]{\frac{8 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi \cdot 8}} = \sqrt[3]{r^3} = r\]

Таким образом, радиус получившейся капли будет равен радиусу исходных капель \(r\), независимо от того, какое значение \(r\) используется.