Каков будет радиус капли, в которую слились восемь капель радиусом r (со значением 27, 64, 125)?

Петрович

32

Чтобы определить радиус капли, в которую слились восемь капель с заданными радиусами $r$, мы можем использовать формулу для объема капли и выразить радиус через данное уравнение.

Объем капли определяется формулой для объема шара:

$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

Если восемь капель радиусом $r$ слились в одну каплю, то их объемы складываются. Так как у нас восемь капель, значит, у нас будет восемь разных объемовно $V_1,V_2,V_3,...,V_8$.

Тогда объем получившейся капли будет равен:

$$V_{total}=V_1+V_2+V_3+...+V_8$$

Мы знаем, что каждая капля имеет радиус $r$, поэтому объем каждой капли будет равен $\frac{4}{3}\pi r^3$.

Теперь мы можем выразить радиус получившейся капли из уравнения:

$$V_{total}=\frac{4}{3}\pi r^3+\frac{4}{3}\pi r^3+\frac{4}{3}\pi r^3+...+\frac{4}{3}\pi r^3$$

У нас есть восемь одинаковых слагаемых, поэтому мы можем записать это как:

$$V_{total}=8\cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

Теперь мы можем решить это уравнение, выразив радиус капли:

$$r_{total}=\sqrt[3]{\frac{V_{total}}{\frac{4}{3}\pi \cdot 8}}$$

Подставим значения радиусов капель $r=27,64,125$ в это уравнение для получения радиуса слившейся капли:

$$r_{total}=\sqrt[3]{\frac{V_{total}}{\frac{4}{3}\pi \cdot 8}}=\sqrt[3]{\frac{8\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi \cdot 8}}=\sqrt[3]{r^3}=r$$

Таким образом, радиус получившейся капли будет равен радиусу исходных капель $r$, независимо от того, какое значение $r$ используется.