Каков диапазон значений для функции y=2/sinx+2cosx?

Лазерный_Рейнджер

69

Чтобы определить диапазон значений функции \(y = \frac{2}{\sin(x)} + 2\cos(x)\), давайте разберемся пошагово.

1. Сначала рассмотрим диапазон значений функций \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\). Знаем, что значения синуса находятся в интервале \([-1, 1]\) и значения косинуса также находятся в интервале \([-1, 1]\).

2. Теперь рассмотрим выражение \(\frac{2}{\sin(x)}\). Заметим, что знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль неопределено. Значит, \(\sin(x) \neq 0\).

3. Рассмотрим два случая:
a) Когда \(\sin(x) > 0\): в этом случае \(\frac{2}{\sin(x)}\) положительно, так как деление положительного числа на положительное даёт положительный результат.
b) Когда \(\sin(x) < 0\): в этом случае \(\frac{2}{\sin(x)}\) отрицательно, так как деление положительного числа на отрицательное даёт отрицательный результат.

4. Теперь добавим слагаемое \(2\cos(x)\) к выражению \(\frac{2}{\sin(x)}\). Значения косинуса функции \(\cos(x)\) могут быть любыми в пределах от \(-1\) до \(1\).

5. Таким образом, сочетая оба слагаемых, мы получаем функцию \(y = \frac{2}{\sin(x)} + 2\cos(x)\), которая может принимать значения в следующих интервалах:
a) Когда \(\sin(x) > 0\): диапазон значений будет от \(-\infty\) до \(2 + 2\cos(x)\).
b) Когда \(\sin(x) < 0\): диапазон значений будет от \(2 + 2\cos(x)\) до \(+\infty\).

6. Общий диапазон значений для функции \(y = \frac{2}{\sin(x)} + 2\cos(x)\) будет в зависимости от значения \(\cos(x)\) и выражается следующим образом:
a) Если \(\cos(x) = -1\), то диапазон значений будет от \(0\) до \(0\).
b) Если \(\cos(x) = 1\), то диапазон значений будет от \(4\) до \(+\infty\).
c) Если \(\cos(x) = 0\), то диапазон значений будет от \(2\) до \(2\).
d) Если \(\cos(x)\) находится между \(-1\) и \(0\), то диапазон значений будет от \(0\) до \(2 + 2\cos(x)\).
e) Если \(\cos(x)\) находится между \(0\) и \(1\), то диапазон значений будет от \(2 + 2\cos(x)\) до \(+\infty\).

Надеюсь, что это пошаговое объяснение помогло вам понять диапазон значений функции \(y = \frac{2}{\sin(x)} + 2\cos(x)\). Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!