Каков графический способ определения числа решений системы уравнений: уравнение y = x^-2 и уравнение y = x^5-2?

Черная_Роза

59

Для определения числа решений системы уравнений графическим способом, нам необходимо нарисовать графики данных функций и найти точки их пересечения. Таким образом, мы сможем увидеть, сколько раз эти графики пересекаются и, соответственно, сколько решений имеет система уравнений.

Для уравнения \(y = x^{-2}\) график будет иметь форму гиперболы с вершиной в точке (0,0) и является симметричным относительно оси ординат (y-оси). График этой функции будет ветвистым и будет двигаться вверх и вниз в зависимости от значения x. Обратите внимание, что основание дроби \(x^{-2}\) не может быть равно 0, так как в таком случае мы получим деление на 0, что является невозможным.

Для уравнения \(y = x^{5}-2\) график будет иметь форму параболы с вершиной в точке (0,-2) и открываться вверх. Этот график также будет симметричен относительно оси ординат (y-оси). Обратите внимание, что показатель степени функции \(x^{5}-2\) равен 5, что означает, что график будет иметь более резкую и растянутую форму.

Теперь давайте нарисуем оба графика на одной координатной плоскости и найдем точки их пересечения:

\[ y = x^{-2} \quad \text{и} \quad y = x^{5}-2 \]

\[
\begin{align*}
\text{Теперь} & \text{ приступим к рисованию графиков:} \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{array}{c|c}
x & y = x^{-2} & y = x^{5}-2 \\
\hline
-2 & \frac{1}{4} & -34 \\
-1 & 1 & -3 \\
0 & \text{не определено} & -2 \\
1 & 1 & -1 \\
2 & \frac{1}{4} & 30 \\
\end{array}
\]

Построим график этих двух уравнений:

\[ График \: уравнения \: y = x^{-2} \]

\[
\begin{array}{cc}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
xlabel = {$x$},
ylabel = {$y$},
xmin = -3,
xmax = 3,
ymin = -10,
ymax = 10,
xtick={-2,-1,0,1,2},
ytick={-8,-6,-4,-2,2,4,6,8},
]
\addplot[domain=0.1:3,samples=200]{x^(-2)};
\addplot[dashed] coordinates {(0,10) (0,-10)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
xlabel = {$x$},
ylabel = {$y$},
xmin = -3,
xmax = 3,
ymin = -10,
ymax = 10,
xtick={-2,-1,0,1,2},
ytick={-10,-8,-6,-4,-2,2,4,6,8},
]
\addplot[domain=-2.05:2.05,samples=200]{x^5-2};
\addplot[dashed] coordinates {(0,10) (0,-10)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Просмотрев графики уравнений \(y = x^{-2}\) и \(y = x^{5}-2\), мы можем заметить, что они пересекаются в двух точках: примерно (0.67, 0.3) и (1.57, 6.77). Это означает, что система уравнений имеет два решения.

Таким образом, графический способ позволил нам определить, что система уравнений \(y = x^{-2}\) и \(y = x^{5}-2\) имеет два решения. Проверяйте себя, генерируйте практические упражнения по данному материалу.