Каков интервал, симметричный относительно ожидания, вероятность попадания в который составляет p=0,966, если случайная

Зайка

8

Чтобы найти интервал, симметричный относительно ожидания и с вероятностью попадания в него \(p = 0.966\), мы будем использовать таблицу Z-значений стандартного нормального распределения.

1. Найдем Z-значение, соответствующее вероятности \(p\). Для этого мы можем воспользоваться таблицей Z-значений или вычислить его с помощью функций стандартного нормального распределения в программе или калькуляторе. Значение будет равно \(Z = 2.05\).

2. Зная Z-значение, мы можем использовать его для определения расстояния от ожидания до границы интервала. Для симметричного интервала относительно ожидания, расстояние будет одинаковым для обоих границ и равняется \(Z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\), где \(\sigma\) - стандартное отклонение, \(n\) - размер выборки.

3. В данном случае, поскольку мы имеем информацию о дисперсии (\(\sigma^2 = 400\)), мы можем найти стандартное отклонение \(\sigma\) путем извлечения квадратного корня из дисперсии: \(\sigma = \sqrt{400} = 20\).

4. Теперь мы можем вычислить расстояние от ожидания до границы интервала: \(Z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.05 \cdot \frac{20}{\sqrt{n}}\).

5. Поскольку нас интересует симметричный интервал, то расстояние от ожидания до каждой границы будет одинаковым. Мы можем использовать половину всего интервала.

6. Таким образом, интервал будет иметь вид: \([a - 2.05 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, a + 2.05 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]\), где \(a\) - ожидание.

7. Вставим значения в формулу: \([15 - 2.05 \cdot \frac{20}{\sqrt{n}}, 15 + 2.05 \cdot \frac{20}{\sqrt{n}}]\).

Теперь мы можем выразить интервал, симметричный относительно ожидания с вероятностью попадания в него \(p = 0.966\) для случайной величины \(\xi\) с нормальным распределением, где ожидание \(a = 15\) и дисперсия \(\sigma^2 = 400\), в виде \([15 - 2.05 \cdot \frac{20}{\sqrt{n}}, 15 + 2.05 \cdot \frac{20}{\sqrt{n}}]\), где \(n\) - размер выборки.