Каков косинус острого угла между прямыми AC и BD, если координаты точек A, B, C и D равны соответственно (5; -2

Евгеньевич_5267

15

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу косинуса для нахождения угла между двумя векторами. Первым шагом нам необходимо найти векторы AC и BD и выразить их координаты.

Вектор AC можно найти, вычислив разницу между координатами конечной точки C и начальной точки A:
\[\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} x_c - x_a \\ y_c - y_a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 5 \\ 7 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 9 \end{pmatrix}\]

Аналогично, вектор BD можно найти, вычислив разницу между координатами конечной точки D и начальной точки B:
\[\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} x_d - x_b \\ y_d - y_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5) - 3 \\ (-2) - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -10 \end{pmatrix}\]

Теперь, когда у нас есть векторы AC и BD, мы можем вычислить косинус угла между ними, используя формулу косинуса:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{\|\overrightarrow{AC}\|\|\overrightarrow{BD}\|}\]

Где \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}\) - скалярное произведение векторов AC и BD, а \(\|\overrightarrow{AC}\|\) и \(\|\overrightarrow{BD}\|\) - их длины соответственно.

Сначала найдем скалярное произведение векторов AC и BD:
\[\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (-5)(-8) + (9)(-10) = 40 - 90 = -50\]

Затем найдем длины векторов AC и BD:
\(\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(-5)^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}\)
\(\|\overrightarrow{BD}\| = \sqrt{(-8)^2 + (-10)^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164}\)

Теперь подставим значения в формулу косинуса:
\[\cos(\theta) = \frac{-50}{\sqrt{106}\sqrt{164}}\]

Мы получили выражение для косинуса угла \(\theta\). Если вы хотите найти значение косинуса, вам нужно использовать калькулятор и вычислить данное выражение или приблизить его значением, используя приближенные значения вышеперечисленных корней.

Помните, что это лишь пошаговое решение данной задачи. Его можно упростить или выразить численное значение косинуса, но это необходимо делать в зависимости от требований задачи.