Каков момент инерции тонкого однородного стержня с длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг, когда на него насажен груз

Saveliy

60

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для момента инерции тонкого стержня относительно оси вращения, проходящей через один из его концов. Формула имеет вид:

\[ I = \frac{{m \cdot l^2}}{3} \]

где I - момент инерции, m - масса стержня, l - его длина.

В данной задаче у нас стержень массой m и длиной l, к которому насажен груз массой 2m. Используя формулу, мы можем вычислить момент инерции стержня без груза и груза отдельно, а затем сложить их, чтобы получить общий момент инерции.

Сначала рассчитаем момент инерции самого стержня без груза. Подставляем значения массы m и длины l в формулу:

\[ I_{\text{стержня}} = \frac{{0.5 \times 1^2}}{3} = \frac{0.5}{3} = 0.1667 \, \text{кг·м}^2 \]

Теперь рассчитаем момент инерции только груза. Поскольку груз считается материальной точкой, его момент инерции равен:

\[ I_{\text{груза}} = m_{\text{груза}} \times r^2 \]

где m_груза - масса груза и r - расстояние от оси вращения до груза. В данном случае, груз находится на конце стержня, так что расстояние r равно длине стержня l.

Подставляем значения массы груза 2m и расстояния r = l в формулу:

\[ I_{\text{груза}} = (2m) \times l^2 = (2 \times 0.5) \times 1^2 = 1 \, \text{кг·м}^2 \]

Теперь сложим моменты инерции стержня и груза для получения общего момента инерции:

\[ I_{\text{общий}} = I_{\text{стержня}} + I_{\text{груза}} = 0.1667 + 1 = 1.1667 \, \text{кг·м}^2 \]

Однако нам необходимо найти момент инерции относительно оси ОО". Чтобы это сделать, мы должны использовать теорему Параллельной оси. Согласно этой теореме:

\[ I_{\text{общий}} = I_{\text{Ось_параллельная}} + m_{\text{груза}} \times d^2 \]

где I_Ось_параллельная - момент инерции стержня относительно оси поперечной параллельной оси ОО", а d - расстояние между этой параллельной осью и осью ОО".

Мы знаем, что масса груза равна 2m, а ответ должен быть равен 0.177 кг·м^2. Подставим значения в формулу:

\[ 1.1667 = I_{\text{Ось_параллельная}} + (2m) \times d^2 \]

Мы знаем, что масса груза равна 2m. Подставим значения в формулу:

\[ 1.1667 = I_{\text{Ось_параллельная}} + (2 \times 0.5) \times d^2 \]

Упростим выражение:

\[ 1.1667 = I_{\text{Ось_параллельная}} + d^2 \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно I_Ось_параллельная:

\[ I_{\text{Ось_параллельная}} = 1.1667 - d^2 \]

В данной задаче нам дано, что ответ должен быть равен 0.177 кг·м^2. Подставим это значение в уравнение и найдем значение для d:

\[ 0.177 = 1.1667 - d^2 \]

Перенесем члены уравнения и решим его:

\[ d^2 = 1.1667 - 0.177 = 0.9897 \]
\[ d = \sqrt{0.9897} \approx 0.9948 \]

Таким образом, момент инерции тонкого однородного стержня с грузом относительно оси ОО" равен 1.1667 кг·м^2, а расстояние d между осью ОО" и параллельной осью равно примерно 0.9948 метра.