Каков момент силы, действующий на цилиндр в момент времени t при вращении тонкостенного цилиндра, масса которого

Manya

45

Чтобы определить момент силы, действующий на цилиндр в момент времени t при его вращении, мы можем использовать формулу момента силы для цилиндра:

\[M = I \cdot \alpha\]

Где M - момент силы (в нашем случае, это то, что нас интересует), I - момент инерции цилиндра и \(\alpha\) - ускорение вращения.

Мы можем найти момент инерции цилиндра с помощью следующей формулы:

\[I = \frac{1}{2} m r^2\]

Где m - масса цилиндра, а r - радиус основания цилиндра.

В данной задаче, масса цилиндра составляет 12 кг, поэтому:

\[m = 12 \, \text{кг}\]

Затем, нам нужно найти радиус цилиндра. У нас дано, что диаметр равен 30 см. Радиус равен половине диаметра:

\[r = \frac{30 \, \text{см}}{2}\]

Преобразуем радиус в метры:

\[r = \frac{30 \, \text{см}}{2} \cdot \frac{1 \, \text{м}}{100 \, \text{см}}\]

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем вычислить момент инерции:

\[I = \frac{1}{2} \cdot 12 \, \text{кг} \cdot \left(\frac{30 \, \text{см}}{2} \cdot \frac{1 \, \text{м}}{100 \, \text{см}}\right)^2\]

\[I = 0.09 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Теперь нам нужно найти ускорение вращения \(\alpha\). У нас дано уравнение для угла поворота \(\varphi\) в зависимости от времени:

\[\varphi = a + bt + ct^3\]

Поскольку мы ищем угловое ускорение \(\alpha\), нам нужно взять вторую производную этой функции по времени:

\[\alpha = \frac{d^2\varphi}{dt^2} = \frac{d}{dt}(b + 3ct^2) = 6ct\]

Теперь мы можем найти момент силы, подставив значения в формулу момента силы:

\[M = I \cdot \alpha = 0.09 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot 6 \cdot 0.2 \, \text{рад/с}^3 \cdot t\]

Убедитесь, что все единицы измерения согласованы и получите итоговый ответ:

\[M = 0.108 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{рад/с}^3 \cdot t\]

Таким образом, момент силы, действующий на цилиндр в момент времени t при вращении, составляет 0.108 кг \(\cdot\) м\(^2\) \(\cdot\) рад/с\(^3\) \(\cdot\) t.