Каков наименьший угол между плоскостью α и плоскостью β в кубе ABCDA1B1C1D1, если плоскость α перпендикулярна линии

Medvezhonok

64

Для решения данной задачи нам понадобится немного геометрии. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Построение куба

Для начала нарисуем куб ABCDA1B1C1D1. У нас есть следующий набор вершин куба:

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0)
A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1)

Шаг 2: Построение плоскостей

Теперь нам нужно построить плоскости α и β.

Поскольку плоскость α перпендикулярна линии A1C1, она должна проходить через середину отрезка A1C1.

\(A1C1\) - это отрезок, соединяющий точку А1(0, 0, 1) и точку C1(1, 1, 1). Найдем его середину, используя среднее арифметическое координат каждой точки:

\(\frac{{0+1}}{2} = \frac{1}{2}\) (координата x)
\(\frac{{0+1}}{2} = \frac{1}{2}\) (координата y)
\(\frac{{1+1}}{2} = 1\) (координата z)

Таким образом, середина отрезка A1C1 имеет координаты (0.5, 0.5, 1).

Теперь мы знаем, что плоскость α проходит через эту середину. Также нам известно, что плоскость α перпендикулярна линии A1C1. Значит, мы можем найти нормальный вектор для плоскости α, используя векторное произведение двух векторов, лежащих на плоскости α.

В качестве векторов, лежащих на плоскости α, мы можем выбрать векторы \(\vec{U} = \overrightarrow{A1C1}\) и \(\vec{V} = \overrightarrow{A1A}\).

Найдем эти векторы:

\(\vec{U} = \overrightarrow{A1C1} = (1-0, 1-0, 1-1) = (1, 1, 0)\)
\(\vec{V} = \overrightarrow{A1A} = (0-0.5, 0-0.5, 0-1) = (-0.5, -0.5, -1)\)

Теперь вычислим нормальный вектор для плоскости α, выполнив векторное произведение \(\vec{U}\) и \(\vec{V}\):

\(\vec{N_{\alpha}} = \vec{U} \times \vec{V} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 1 & 1 & 0\\ -0.5 & -0.5 & -1\end{vmatrix}\)

\(= (1*(-0.5) - 1*(-0.5))\vec{i} - (1*(-1) - 0*(-0.5))\vec{j} + (1*(-0.5) - 0*(-0.5))\vec{k}\)
\(= (-1)\vec{i} - (-1)\vec{j} - 0.5\vec{k}\)
\(= -\vec{i} + \vec{j} - 0.5\vec{k}\)

Таким образом, нормальный вектор для плоскости α равен \(-\vec{i} + \vec{j} - 0.5\vec{k}\).

Похожим образом можно найти нормальный вектор для плоскости β, поскольку она параллельна линии CD1. Сначала нужно найти векторы \(\vec{U}\) и \(\vec{V}\), а затем выполнить векторное произведение.

Шаг 3: Вычисление угла между плоскостями

Теперь, когда у нас есть нормальные векторы для плоскостей α и β, мы можем использовать формулу для нахождения угла между этими векторами.

\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{N_{\alpha}} \cdot \vec{N_{\beta}}}}{{\|\vec{N_{\alpha}}\| \cdot \|\vec{N_{\beta}}\|}}\)

где \(\vec{N_{\alpha}}\) и \(\vec{N_{\beta}}\) - нормальные векторы плоскостей α и β соответственно, \(\cdot\) - скалярное произведение векторов, а \(\|\vec{N_{\alpha}}\|\) и \(\|\vec{N_{\beta}}\|\) - нормы этих векторов.

Подставляя в нашу формулу значения, найденные ранее для плоскостей α и β, получаем:

\(\cos(\theta) = \frac{{(-1)\vec{i} + \vec{j} - 0.5\vec{k}} \cdot \vec{N_{\beta}}}{{\|-\vec{i} + \vec{j} - 0.5\vec{k}\| \cdot \|\vec{N_{\beta}}\|}}\)

Теперь мы можем использовать это выражение и другие известные нам величины, чтобы найти значение угла \(\theta\).