Каков объем и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если сумма длин всех его ребер составляет

Весенний_Ветер

34

Давайте решим задачу step-by-step.

Пусть длина ребра a равна x, ширина ребра b равна \(\frac{x}{3}\) и высота ребра h равна \(\frac{x}{2}\).

Сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда равна периметру основания 2ab, плюс четыре ребра высоты h. Имеем:

\(2(x + \frac{x}{3}) + 4 \cdot \frac{x}{2} = 132\)

Упрощаем:

\(2x + \frac{2x}{3} + 2x = 132\)

Общий знаменатель:

\(\frac{6x}{3} + \frac{2x}{3} + \frac{6x}{3} = 132\)

\(\frac{8x}{3} + \frac{6x}{3} = 132\)

\(\frac{14x}{3} = 132\)

Умножаем обе стороны на \(\frac{3}{14}\):

\(x = \frac{3}{14} \cdot 132\)

\(x = 9\)

Теперь мы знаем, что каждая длина ребра равна 9 см.

Чтобы найти объем параллелепипеда, мы используем формулу \(V = a \cdot b \cdot h\).

Подставляем значения:

\(V = 9 \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{9}{2}\)

Упрощаем:

\(V = 9 \cdot 3 \cdot \frac{9}{2}\)

\(V = 243\) куб. см

Теперь найдем площадь полной поверхности параллелепипеда.

Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней.

Имеем:

\(S = 2(ab + ah + bh)\)

Подставляем значения:

\(S = 2(9 \cdot \frac{9}{3} + 9 \cdot \frac{9}{2} + \frac{9}{3} \cdot \frac{9}{2})\)

Упрощаем:

\(S = 2(9 \cdot 3 + 9 \cdot 4.5 + 3 \cdot 4.5)\)

\(S = 2(27 + 40.5 + 13.5)\)

\(S = 2 \cdot 81\)

\(S = 162\) кв. см

Таким образом, объем этого параллелепипеда составляет 243 куб. см, а площадь его полной поверхности равна 162 кв. см.