Каков объем пирамиды, если длина одной из сторон ее ромбического основания равна 15 см, а каждая грань пирамиды

Вероника

53

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими формулами для объема и площади боковой поверхности пирамиды.

1. Рассмотрим ромбическое основание пирамиды. Так как одна из его сторон равна 15 см, можно сказать, что каждая диагональ ромба равна 15 см.

2. Построим рисунок, чтобы наглядно представить пирамиду. Рисунок поможет нам визуализировать ее структуру и лучше понять, какие данные известны.

3. Нарисуем ромб с длиной стороны 15 см. В каждой точке начала диагоналей построим перпендикуляр к соответствующей диагонали. Затем соединим концы этих перпендикуляров. Таким образом, у нас получится пирамида, у которой основанием является ромб.

4. Обозначим вершины ромба A, B, C и D. Проведем прямые линии из вершин вертикально вверх до точки O, образовывая треугольники AOB, BOC, COD и DOA.

5. Так как каждая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45 градусов, у нас есть прямые треугольники AOV, BOV, COV и DOV. Угол VOA равен 45 градусов.

6. Для того чтобы найти объем пирамиды, нам необходимо найти высоту пирамиды (h) и площадь основания (S).

7. Площадь основания (S) можно найти по формуле: S = \(\frac{{D_1 \cdot D_2}}{2}\), где D1 и D2 - длины диагоналей ромба.

8. В нашем случае, обе диагонали ромба равны 15 см, поэтому S = \(\frac{{15 \cdot 15}}{2} = 112,5\) см².

9. Площадь боковой поверхности пирамиды (A) равна 40 см². Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле: A = \(\frac{Plat \cdot Vst}{2}\), где Plat - площадь основания, а Vst - высота боковой стороны пирамиды.

10. В нашем случае, площадь основания (Plat) равна 112,5 см². Заметим, что каждая боковая сторона пирамиды представляет собой треугольник с основанием, равным стороне ромба (15 см), и высотой (h) равной высоте пирамиды.

11. Для того чтобы найти высоту боковой стороны пирамиды (Vst), вспомним геометрический факт о треугольниках с двумя равными сторонами и наклоненной стороной между ними. В таком треугольнике, наклоненная сторона вдвое меньше основания, а высота образует прямой угол с основанием.

12. То есть, h = \(\frac{{15 \cdot \sqrt{2}}}{2}\) см, так как наклоненная сторона равняется стороне ромба, а высота равна половине основания умноженной на \(\sqrt{2}\). Выражение \(\sqrt{2}\) возникает из пропорций в треугольнике.

13. Подставим известные значения в формулу для площади боковой поверхности пирамиды и рассчитаем высоту (Vst): 40 = \(\frac{{112,5 \cdot Vst}}{2}\). Решив уравнение, получим Vst = \(\frac{{80}}{{112,5}}\) см.

14. Теперь у нас есть площадь основания (Plat) и высота боковой стороны (Vst). Мы готовы рассчитать объем пирамиды. Объем пирамиды (V) можно найти по формуле: V = \(\frac{{Plat \cdot Vst}}{3}\).

15. Подставим известные значения Plаt = 112,5 см² и Vst = \(\frac{{80}}{{112,5}}\) см в формулу и рассчитаем объем пирамиды (V).

\[V = \frac{{112,5 \cdot \frac{{80}}{{112,5}}}}{3} = \frac{{80}}{3} = 26,67\] см³.

Таким образом, объем пирамиды равен 26,67 см³.