Каков объем пирамиды mabc с боковым ребром, являющимся высотой пирамиды отрезком сн, и известными значениями длин AB=4

Blestyaschaya_Koroleva

22

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема пирамиды, которая выражается через площадь основания \(S\) и высоту \(H\):

\[V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot H\]

В нашем случае, мы знаем, что высота пирамиды равна отрезку \(SN\), поэтому нам нужно найти площадь основания пирамиды \(S\).

Обратимся к известным значениям длин отрезков. Мы знаем, что \(AB = 4\), \(CH = 6\) и \(MC = 3\). Обратите внимание, что ребра пирамиды \(AB\) и \(CH\) суть диагонали основания пирамиды, а отрезок \(MC\) является высотой пирамиды.

Теперь давайте взглянем на плоскость основания пирамиды \(ABC\) и попытаемся найти площадь этого треугольника. Можно использовать формулу для площади треугольника по его сторонам \(a\), \(b\), \(c\):

\[S_{ABC} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр, вычисляемый по формуле \(p = \dfrac{a + b + c}{2}\).

В нашем случае, стороны треугольника \(ABC\) равны \(a = AB = 4\), \(b = BC = CH = 6\), \(c = AC\). Отсюда следует, что \(AC\) - это диагональ основания пирамиды. Для нахождение её длины \(AC\) мы можем использовать теорему Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Подставим значения и найдем длину \(AC\):

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\]
\[AC = \sqrt{4^2 + 6^2}\]
\[AC = \sqrt{16 + 36}\]
\[AC = \sqrt{52}\]
\[AC = 2 \sqrt{13}\]

Теперь мы можем вычислить полупериметр \(p\):

\[p = \dfrac{AB + BC + AC}{2}\]
\[p = \dfrac{4 + 6 + 2 \sqrt{13}}{2}\]
\[p = 5 + \sqrt{13}\]

Теперь, используя площадь треугольника и его высоту, мы можем найти площадь основания пирамиды:

\[S = S_{ABC} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]
\[S = \sqrt{(5 + \sqrt{13}) \cdot (5 + \sqrt{13} - 4) \cdot (5 + \sqrt{13} - 6) \cdot (5 + \sqrt{13} - 2 \sqrt{13})}\]
\[S = \sqrt{(5 + \sqrt{13}) \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (5 - \sqrt{13})}\]
\[S = \sqrt{(5 + \sqrt{13}) \cdot (5 - \sqrt{13})}\]
\[S = \sqrt{25 - 13}\]
\[S = \sqrt{12}\]
\[S = 2 \sqrt{3}\]

Итак, у нас есть площадь основания \(S = 2 \sqrt{3}\) и высота пирамиды \(H = SN = MC = 3\). Вставляя эти значения в формулу объема пирамиды, мы можем найти искомый объем \(V\):

\[V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot H\]
\[V = \dfrac{1}{3} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 3\]
\[V = 2 \sqrt{3}\]

Таким образом, объем пирамиды \(mabc\) равен \(2 \sqrt{3}\).