Каков объём пирамиды с ромбовидным основанием, где большая диагональ равна 12 см и острый угол составляет 60 градусов

Poyuschiy_Homyak_804

62

Для решения задачи о объеме пирамиды с ромбовидным основанием, нам необходимо знать формулу объема пирамиды и использовать имеющиеся данные.

Формула объема пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \]
где:
\( V \) - объем пирамиды,
\( S_{осн} \) - площадь основания пирамиды,
\( h \) - высота пирамиды.

Для начала, найдем площадь основания пирамиды. Для ромба с большей диагональю \( d \) и острой вершиной угла \( \alpha \), площадь может быть вычислена по формуле:
\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\alpha) \]
где:
\( d_1 \) и \( d_2 \) - длины диагоналей ромба.

В нашем случае, большая диагональ равна 12 см и острый угол составляет 60 градусов. Также, известно, что двугранные углы при основании равны 45 градусов. Для ромба с двугранными углами в 45 градусов, длины диагоналей всегда равны. То есть, меньшая диагональ также будет равна 12 см.

Теперь, подставим полученные значения в формулу для площади основания пирамиды:
\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin(60) \]

Вычислим значение синуса по таблице или с помощью калькулятора:
\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 72 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Теперь, нам необходимо найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного половиной большой диагонали, половиной меньшей диагонали и высотой пирамиды. Длины сторон этого треугольника будут равны \( \frac{12}{2} = 6 \) см и \( \frac{12}{2} = 6 \) см, а длина гипотенузы (высоты пирамиды) будет обозначена как \( h \).

Применяя теорему Пифагора, получаем:
\[ h^2 = 6^2 + 6^2 \]
\[ h^2 = 36 + 36 \]
\[ h^2 = 72 \]
\[ h = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} \, \text{см} \]

Теперь, имея значения площади основания пирамиды и ее высоту, мы можем вычислить объем пирамиды с помощью формулы:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \]
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 72 \sqrt{3} \cdot 6 \sqrt{2} \]
\[ V = 12 \sqrt{6} \sqrt{3} \]
\[ V = 12 \sqrt{18} \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем пирамиды с ромбовидным основанием, где большая диагональ равна 12 см и острый угол составляет 60 градусов, а все двугранные углы при основании равны 45 градусов, равен \( 12 \sqrt{18} \) кубических сантиметров.