Каков объем правильной четырёхугольной призмы с основанием площадью 8 см^2 и диагональю, образующей угол

Морской_Бриз

34

Чтобы решить эту задачу, мы должны разобраться в свойствах правильной четырехугольной призмы. Правильная четырехугольная призма имеет две прямоугольные основания, которые являются квадратами, и боковые грани, которые являются прямоугольниками. В нашем случае одна из боковых граней образует угол 30 градусов с плоскостью, а другая боковая грань будет перпендикулярна к этой плоскости.

Пусть сторона основания квадрата равна \(a\) см. Тогда площадь основания будет равна \(a \times a = a^2\). Мы знаем, что площадь основания равна 8 см\(^2\), поэтому у нас есть уравнение: \(a^2 = 8\). Чтобы найти значение \(a\), возьмем корень из обеих сторон этого уравнения: \(a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Так как основание квадрата является прямоугольником, а его диагональ образует угол 30 градусов с плоскостью боковой грани, то эту диагональ можно разбить на две части: одна из них равна стороне квадрата \(a\), а другая равна высоте прямоугольника, обозначим ее \(h\) см.

Для того чтобы найти значение высоты \(h\), мы можем использовать тригонометрический закон синусов. В нашем случае у нас есть прямоугольный треугольник, где противолежащая сторона равна \(h\), гипотенуза равна диагонали квадрата, а угол противолежащий стороне \(a\) равен 30 градусов. Таким образом, по теореме синусов, мы можем записать следующее соотношение: \(\frac{h}{\sin(30^\circ)} = \frac{d}{\sin(90^\circ)}\), где \(d\) - диагональ квадрата.

Так как \(\sin(90^\circ)\) равен 1, а \(\sin(30^\circ)\) равен \(\frac{1}{2}\), то у нас получится следующее: \(\frac{h}{\frac{1}{2}} = \frac{d}{1}\), или \(h = 2d\).

Мы знаем, что сторона \(a\) равна \(2\sqrt{2}\), поэтому диагональ \(d\) равна длине диагонали квадрата, которая равна удвоенному значению \(a\). Запишем это: \(d = 2a = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).

Теперь мы можем найти значение высоты \(h\): \(h = 2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) см.

Чтобы найти объем призмы, мы должны умножить площадь основания на высоту. В нашем случае объем будет равен: \(V = a^2 \times h = (2\sqrt{2})^2 \times 8\sqrt{2} = 8 \times 2 \times 2 \times \sqrt{2} = 32\sqrt{2}\) см\(^3\).

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы с основанием площадью 8 см\(^2\) и диагональю, образующей угол 30 с плоскостью боковой грани, равен \(32\sqrt{2}\) см\(^3\).