Каков объём правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, если её боковое ребро равно 2b и сечение, проведенное через

Сузи

19

Итак, нам дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Давайте разберемся с данными условиями по порядку.

1. Боковое ребро призмы равно 2b. Обозначим его как \(a = 2b\).

2. Сечение, проведенное через сторону AB нижнего основания и середину ребра CC1, образует угол в 30 градусов с плоскостью основания.

Для нахождения объема призмы, нам нужно знать ее высоту и площадь основания. По данному условию ориентироваться не совсем просто, поэтому разберемся в нем более подробно.

Сечение, проведенное через сторону AB и середину ребра CC1, образует угол в 30 градусов с плоскостью основания. Если мы представим плоскость основания и рассмотрим проведенное сечение, то получим треугольник ABC, где все углы равны 60 градусов. Так как ребро CC1 является медианой треугольника ABC, то у треугольника ABC также будет равносторонний треугольник.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Дано, что он равносторонний, и его сторона AB равна \(a = 2b\). Для определения высоты треугольника ABC нам понадобится применить теорему Пифагора.

Пусть \(h\) - высота треугольника ABC, \(b\) - половина стороны AB, и \(c\) - гипотенуза треугольника ABC.

Применяя теорему Пифагора, получим:

\[
c^2 = b^2 + h^2
\]

Так как треугольник ABC является равносторонним, то \(c = a = 2b\). Подставим это обратно в уравнение:

\[
(2b)^2 = b^2 + h^2
\]

Упростим это уравнение:

\[
4b^2 = b^2 + h^2
\]

Таким образом, мы можем решить это уравнение для \(h\):

\[
h^2 = 4b^2 - b^2 = 3b^2
\]

\[
h = \sqrt{3b^2} = b\sqrt{3}
\]

Теперь, когда у нас есть высота треугольника ABC, мы можем вычислить площадь основания этой призмы.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

\[
S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
\]

Поскольку треугольник ABC равносторонний, его площадь будет:

\[
S = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times b \times b\sqrt{3} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{2}
\]

Итак, мы получили площадь основания призмы. Теперь можем найти ее объем.

Объем треугольной призмы можно вычислить по формуле:

\[
V = S \times \text{высота}
\]

Подставляя значения, получим:

\[
V = \frac{b^2 \sqrt{3}}{2} \times b\sqrt{3} = \frac{3b^3}{2} \sqrt{3}
\]

Таким образом, ответ на задачу - объем правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равен \(\frac{3b^3}{2} \sqrt{3}\).

Вариант ответа: 3b^3√3.