Каков объем прямого параллелепипеда, у которого основание – ромб с диагоналями длиной 8 и 6 дм, а большая диагональ

Димон_5081

1

Давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Изучение задачи и постановка вопроса
У нас есть прямой параллелепипед с ромбовидным основанием. Ромб имеет диагонали длиной 8 дм и 6 дм, а большая диагональ образует угол 45 градусов с плоскостью основания. Мы должны определить объем этого параллелепипеда.

Шаг 2: Поиск подходящей формулы или соотношения
Для решения этой задачи, нам понадобится знание формулы объема параллелепипеда. В случае прямого параллелепипеда, объем вычисляется по формуле:
\[V = S \cdot h\]
где \(V\) - объем, \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота.

Шаг 3: Вычисление площади основания
Поскольку у нас ромбовидное основание, площадь вычисляется по формуле:
\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]
где \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей ромба.

Подставим значения из задачи:
\[S = \frac{8 \cdot 6}{2}\]
\[S = 24 \, \text{дм}^2\]

Шаг 4: Вычисление высоты параллелепипеда
Мы знаем, что большая диагональ ромба образует угол 45 градусов с плоскостью основания. Кроме того, так как прямой параллелепипед, то высота равна расстоянию между плоскостью основания и плоскостью, параллельной основанию через общую большую диагональ ромба.

По свойствам ромба, угол между диагоналями равен 90 градусов. Т.к. большая диагональ образует угол 45 градусов с плоскостью основания, угол между плоскостью основания и плоскостью через большую диагональ также будет равен 45 градусов. Это значит, что получившийся параллелепипед является прямым параллелепипедом.

Теперь найдем высоту по теореме Пифагора. Для этого воспользуемся половиной длины большей диагонали ромба в качестве катета и половиной разности длин диагоналей в качестве другого катета.

Половина длины большей диагонали: \( \frac{8}{2} = 4 \) дм
Половина разности длин диагоналей: \( \frac{8 - 6}{2} = 1 \) дм

Теперь применяем теорему Пифагора:
\[ h = \sqrt{(4^2 - 1^2)} = \sqrt{15} \approx 3.87 \, \text{дм}\]

Шаг 5: Вычисление объема параллелепипеда
Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота параллелепипеда, мы можем вычислить его объем, подставив найденные значения в формулу:
\[V = S \cdot h\]
\[V = 24 \cdot 3.87 \approx 92.9 \, \text{дм}^3\]

Итак, объем прямого параллелепипеда равен примерно 92.9 дм³.