Каков объем прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна 10 см и образует угол 60° с плоскостью основания?

Хвостик_2849

38

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам сначала нужно найти его размеры - длину \(a\), ширину \(b\) и высоту \(h\). Затем мы можем использовать формулу для объема прямоугольного параллелепипеда: \(V = a \cdot b \cdot h\).

Дано, что диагональ параллелепипеда равна 10 см и образует угол 60° с плоскостью основания. Давайте введем обозначение \(d\) для длины диагонали. Также, давайте обозначим угол между диагональю и плоскостью основания как \(\theta\).

Мы можем разбить диагональ на три отрезка: один от одного угла основания до середины противоположной стороны, другой - от основания до вершины, и третий - от конца первого отрезка до вершины. Обозначим эти отрезки как \(d_1\), \(d_2\) и \(d_3\).

В случае прямоугольного параллелепипеда с гранями, параллельными осям координат, у нас есть следующие связи между размерами:
\(d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}\),
\(d_2 = \sqrt{a^2 + h^2}\),
\(d_3 = \sqrt{b^2 + h^2}\).

Теперь, в нашем случае, у нас есть угол \(\theta = 60°\) между диагональю и плоскостью основания. Мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти значения \(d_2\) и \(d_3\). Обратите внимание, что угол \(\theta\) является углом между \(d_2\), \(h\) и углом между \(d_3\), \(h\).

Используя соотношение синуса для треугольника со сторонами \(d_2\), \(h\), \(d_1\) и углом \(\theta\), мы получим:
\(\sin \theta = \frac{h}{d_2}\).

Также, используя соотношение синуса для треугольника со сторонами \(d_3\), \(h\), \(d_1\) и углом \(\theta\), мы получим:
\(\sin \theta = \frac{h}{d_3}\).

Мы можем решить эти уравнения относительно \(h\):
\(\frac{h}{d_2} = \sin \theta \Rightarrow h = d_2 \cdot \sin \theta\),
\(\frac{h}{d_3} = \sin \theta \Rightarrow h = d_3 \cdot \sin \theta\).

Теперь, мы можем найти длину \(a\) и ширину \(b\) с использованием соотношений \(d_1\), \(d_2\) и \(d_3\):
\(d_1 = \sqrt{a^2 + b^2} \Rightarrow a^2 + b^2 = d_1^2\),
\(d_2 = \sqrt{a^2 + h^2}\),
\(d_3 = \sqrt{b^2 + h^2}\).

Мы уже нашли \(h\) как \(h = d_2 \cdot \sin \theta = d_3 \cdot \sin \theta\). Следовательно, мы можем подставить это в уравнения для \(d_2\) и \(d_3\):
\(d_2 = \sqrt{a^2 + (d_2 \cdot \sin \theta)^2}\),
\(d_3 = \sqrt{b^2 + (d_3 \cdot \sin \theta)^2}\).

Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\(d_2^2 = a^2 + (d_2 \cdot \sin \theta)^2\),
\(d_3^2 = b^2 + (d_3 \cdot \sin \theta)^2\).

Решим первое уравнение относительно \(a\):
\(d_2^2 - (d_2 \cdot \sin \theta)^2 = a^2 \Rightarrow a = \sqrt{d_2^2 - (d_2 \cdot \sin \theta)^2}\).

Аналогично решим второе уравнение относительно \(b\):
\(d_3^2 - (d_3 \cdot \sin \theta)^2 = b^2 \Rightarrow b = \sqrt{d_3^2 - (d_3 \cdot \sin \theta)^2}\).

Теперь, зная \(a\), \(b\) и \(h\), мы можем найти объем \(V\) прямоугольного параллелепипеда, используя формулу \(V = a \cdot b \cdot h\):
\(V = \sqrt{d_2^2 - (d_2 \cdot \sin \theta)^2} \cdot \sqrt{d_3^2 - (d_3 \cdot \sin \theta)^2} \cdot (d_2 \cdot \sin \theta)\).

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна 10 см и образует угол 60° с плоскостью основания, равен \[V = \sqrt{d_2^2 - (d_2 \cdot \sin \theta)^2} \cdot \sqrt{d_3^2 - (d_3 \cdot \sin \theta)^2} \cdot (d_2 \cdot \sin \theta)\].