Каков объём прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна √6 и она образует углы 30°, 45° и

Chernyshka_6009

22

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем длины сторон прямоугольного параллелепипеда.
Задача говорит, что диагональ параллелепипеда равна \(\sqrt{6}\), а она образует углы 30°, 45° и 60° с плоскостями граней параллелепипеда. Поскольку мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом, то диагональ является гипотенузой треугольников, образованных плоскостями граней, а стороны параллелепипеда - это катеты этих треугольников.

Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон параллелепипеда. Тогда у нас есть следующие соотношения:
\[
\begin{align*}
\sin 30° &= \frac{a}{\sqrt{6}}, \\
\sin 45° &= \frac{b}{\sqrt{6}}, \\
\sin 60° &= \frac{c}{\sqrt{6}}.
\end{align*}
\]

Перепишем эти уравнения для нахождения значений \(a\), \(b\) и \(c\):
\[
\begin{align*}
a &= \sqrt{6} \cdot \sin 30° = \sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}, \\
b &= \sqrt{6} \cdot \sin 45° = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}, \\
c &= \sqrt{6} \cdot \sin 60° = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{18}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.
\end{align*}
\]

Итак, длины сторон параллелепипеда равны \(\frac{\sqrt{6}}{2}\), \(\sqrt{3}\) и \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\).

Шаг 2: Найдем объем параллелепипеда.
Объем параллелепипеда можно найти, умножив длину, ширину и высоту вместе.
Таким образом, объем \(V\) прямоугольного параллелепипеда равен:
\[
V = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}.
\]

Давайте упростим эту выражение:
\[
V = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{9\sqrt{12}}{4}.
\]

Так как \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\), мы можем продолжить упрощение:
\[
V = \frac{9 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}.
\]

Итак, объем этого прямоугольного параллелепипеда составляет \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда, у которого диагональ равна \(\sqrt{6}\) и она образует углы 30°, 45° и 60° с плоскостями граней параллелепипеда, равен \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\).