Выберите вариант, в котором приведены многочлены, имеющие общий множитель 3x−6; 3x−21m+1; −7−21m; 21mn+7n; −4x+7n

Magicheskiy_Samuray_1739

37

Для решения данной задачи нам нужно найти многочлены, которые имеют общий множитель \(3x-6\), \(3x-21m+1\), \(-7-21m\), \(21mn+7n\), \(-4x+7n\) и \(x^2-2x\).

Чтобы проверить, имеют ли два многочлена общий множитель, можно воспользоваться методом деления многочленов. Если мы поделим один многочлен на другой и получим остаток 0, то это означает, что у них есть общий множитель.

Вначале проведем деление многочленов \(3x-6\) и \(3x-21m+1\):
\[
\begin{align*}
& \phantom{)}\underline{~~~x-2~~~} \\
(3x-21m+1)&\biggl)\underline{3x-6} \\
& \phantom{)}\underline{~~~3x-21m} \\
& \phantom{)}\phantom{00}\underline{~~~1} \\
\end{align*}
\]
Видим, что при делении \(3x-6\) на \(3x-21m+1\) получаем остаток 1. Таким образом, эти многочлены не имеют общего множителя.

Рассмотрим теперь многочлены \(3x-6\) и \(-7-21m\):
\[
\begin{align*}
& \phantom{)}\underline{~~~\frac{21}{3}} \\
(-7-21m)&\biggl)\underline{3x-6} \\
& \phantom{)}\underline{~~~3x-21m} \\
& \phantom{)}\underline{~~~~~~~~\frac{15}{3}} \\
\end{align*}
\]
Здесь мы получили остаток \(\frac{15}{3}\), что равно 5. Таким образом, многочлены \(3x-6\) и \(-7-21m\) также не имеют общего множителя.

Продолжаем с многочленами \(3x-6\) и \(21mn+7n\):
\[
\begin{align*}
& \phantom{)}\underline{~~~7n~~~} \\
(21mn+7n)&\biggl)\underline{3x-6} \\
& \phantom{)}\underline{~~~21mn-6n} \\
& \phantom{)}\underline{~~~~~~~~~~6n} \\
\end{align*}
\]
В этом случае мы получили остаток \(6n\). По-прежнему отсутствует общий множитель между \(3x-6\) и \(21mn+7n\).

Перейдем к многочленам \(3x-6\) и \(-4x+7n\):
\[
\begin{align*}
& \phantom{)}\underline{~~~-\frac{4}{3}x~~~} \\
(-4x+7n)&\biggl)\underline{3x-6} \\
& \phantom{)}\underline{~~~-\frac{4}{3}x+2n} \\
& \phantom{)}\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~2n} \\
\end{align*}
\]
Здесь мы получили остаток \(2n\). Не существует общего множителя между \(3x-6\) и \(-4x+7n\).

Теперь рассмотрим многочлены \(3x-6\) и \(x^2-2x\):
\[
\begin{align*}
& \phantom{)}\underline{~~~\frac{1}{3}x~~~} \\
(x^2-2x)&\biggl)\underline{3x-6} \\
& \phantom{)}\underline{~~~\frac{1}{3}x} \\
& \phantom{)}\phantom{000}\underline{~~~0} \\
\end{align*}
\]
Здесь остаток равен 0, что означает, что \(3x-6\) является общим множителем для \(3x-6\) и \(x^2-2x\).

Таким образом, из всех предложенных вариантов, только пара многочленов \(\textbf{3x-6}\) и \(\textbf{x^2-2x}\) имеет общий множитель \(3x-6\). Правильный ответ: \fbox{3x-6; x^2-2x}.