Каков объем тела, образованного вращением параболы y=3x^2 вокруг оси абсцисс в интервале от x=1 до x=2?

Osen

41

Чтобы найти объем тела, образованного вращением параболы \(y = 3x^2\) вокруг оси абсцисс в интервале от \(x = 1\) до \(x = 2\), мы можем воспользоваться методом цилиндров.

Мы разделим интервал от \(x = 1\) до \(x = 2\) на множество очень маленьких отрезков шириной \(\Delta x\). Для каждого отрезка мы будем конструировать цилиндр, вращая его вокруг оси абсцисс. После этого мы сложим объемы всех цилиндров, чтобы получить искомый объем.

Шаг 1: Найдем радиус цилиндров
Радиус цилиндра в каждой точке будет равен значения функции \(y = 3x^2\) в этой точке. Так как мы вращаем вокруг оси абсцисс, то радиусом будет расстояние от оси абсцисс (\(x\)-оси) до кривой нашей параболы. В данном случае, радиус цилиндра будет равен \(3x^2\).

Шаг 2: Найдем высоту цилиндров
Высота каждого цилиндра будет равна ширине соответствующего отрезка \(\Delta x\).

Шаг 3: Найдем объем цилиндра
Объем цилиндра можно найти по формуле \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра.

Объединив все шаги, мы можем записать формулу для объема одного цилиндра как:

\[V_{\text{цил}} = \pi (3x^2)^2 \cdot \Delta x\]

Теперь мы можем приступить к нахождению объема тела путем сложения объемов всех цилиндров. Чем меньше мы выберем значения \(\Delta x\), тем точнее будет наше приближение.

\[V_{\text{тела}} = \sum_{x=1}^{x=2} V_{\text{цил}} = \sum_{x=1}^{x=2} \pi (3x^2)^2 \cdot \Delta x\]

Однако, нам нужно оценить эту сумму. Мы можем это сделать, используя интеграл, так как он позволяет нам приближенно вычислить сумму.

\[V_{\text{тела}} = \int_{1}^{2} \pi (3x^2)^2 \, dx\]

Подынтегральная функция — это квадрат функции \(3x^2\), возведенный в квадрат. Раскроем выражение внутри действия возведения в квадрат:

\[V_{\text{тела}} = \int_{1}^{2} \pi 9x^4 \, dx\]

Теперь мы можем взять интеграл:

\[V_{\text{тела}} = \pi \int_{1}^{2} 9x^4 \, dx\]

Вычислим интеграл:

\[V_{\text{тела}} = \pi \left[ \frac{9}{5}x^5 \right]_1^2\]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[V_{\text{тела}} = \pi \left( \frac{9}{5} \cdot 2^5 - \frac{9}{5} \cdot 1^5 \right)\]

И, в конечном итоге, получим:

\[V_{\text{тела}} = \pi \left( \frac{9}{5} \cdot 32 - \frac{9}{5} \right)\]

Выполняя простые арифметические вычисления, мы найдем:

\[V_{\text{тела}} = \frac{147}{5}\pi\]

Таким образом, объем тела, образованного вращением параболы \(y = 3x^2\) вокруг оси абсцисс в интервале от \(x = 1\) до \(x = 2\), равен \(\frac{147}{5}\pi\).