Каков объем тела вращения, если прямоугольник с диагональю, равной 2 корня из 3, поворачивается вокруг одной из своих

Ласка

54

Чтобы найти объем тела вращения, необходимо использовать метод известный как метод цилиндров по промежутку. Давайте разберем эту задачу пошагово.

Шаг 1: Вначале нам нужно найти уравнение линии вращения. Для этого мы будем использовать одно из уравнений окружности, так как тело вращается вокруг одной из своих сторон.

У нас есть прямоугольник с диагональю, равной \(2\sqrt{3}\). Пусть \([ABCD]\) - это наш прямоугольник, где \(AB\) и \(CD\) - это его стороны, \(AC\) - это диагональ, а \(B\) и \(C\) - это точки на диагонали.

Шаг 2: Определим координаты точек \(B\) и \(C\). Поскольку \(AC\) является диагональю, исходим из того, что его середина находится в начале координат, т.е. координаты точки \(C\) будут \(C(0, 0)\).

Так как \(AC\) - это диагональ и \(ABCD\) - прямоугольник, его стороны параллельны осям координат. Поэтому координаты точки \(B\) также должны быть на оси \(x\). Поскольку \(AC\) составляет половину диагонали, координаты точки \(B\) будут \(B(x, 0)\), где \(x\) - неизвестное значение, которое мы хотим найти.

Шаг 3: Найдем значение \(x\). Мы знаем, что \(AC\) равно \(2\sqrt{3}\), поэтому его длина равна расстоянию между точками \(A\) и \(C\). Используя теорему Пифагора, мы можем написать следующее уравнение:

\[\sqrt{x^2 + (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{3}\]

Решая это уравнение, мы получаем:

\[x^2 + 12 = 12\]

\[x^2 = 0\]

\[x = 0\]

Итак, координаты точки \(B\) равны \(B(0, 0)\).

Шаг 4: Теперь рисуем линию вращения, подставляя точки \(B\) и \(C\) в уравнение окружности. Уравнение окружности имеет следующий вид:

\[x^2 + y^2 = r^2\]

где \(r\) - радиус окружности, которая равна половине длины диагонали \(AC\), т.е. \(r = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\).

Подставляя значения координат точек \(B\) и \(C\) в уравнение окружности, мы получаем:

\[0^2 + y^2 = (\sqrt{3})^2\]

\[y^2 = 3\]

\[y = \pm \sqrt{3}\]

Итак, линия вращения состоит из двух точек: \(D(0, \sqrt{3})\) и \(E(0, -\sqrt{3})\).

Шаг 5: Теперь используем метод цилиндров по промежутку. Мы будем вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон, давая цилиндру форму вращающегося тела.

Мы знаем, что объем цилиндра можно найти, используя следующую формулу:

\[V = \pi r^2 h\]

где \(r\) - радиус цилиндра, а \(h\) - его высота.

Обратите внимание, что в нашем случае, радиус цилиндра \(r\) равен \(\sqrt{3}\), а высота цилиндра \(h\) равна расстоянию между точками \(D\) и \(E\), что равно \(2\sqrt{3}\) (сумма модулей координат точек \(D\) и \(E\)).

Теперь мы можем вычислить объем:

\[V = \pi \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot (2\sqrt{3})\]

\[V = 3\pi \cdot 2\sqrt{3}\]

\[V = 6\sqrt{3}\pi\]

Итак, объем тела вращения при наибольшем значении равен \(6\sqrt{3}\pi\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти объем тела вращения, используя метод цилиндров по промежутку.