Каков объем треугольной пирамиды ABCD, если ее ребра AB, AC и AD взаимно перпендикулярны и известно, что AB=4, AC=12

Sladkaya_Babushka_8328

44

Чтобы найти объем треугольной пирамиды, необходимо использовать формулу:

\[V = \frac{Ah}{3}\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(A\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Для начала, найдем площадь основания пирамиды. Мы знаем, что ребра \(AB\), \(AC\) и \(AD\) взаимно перпендикулярны, поэтому основание пирамиды - прямоугольный треугольник с гипотенузой \(AB\) и катетами \(AC\) и \(AD\).

Высота пирамиды \(h\) - это расстояние от вершины \(D\) до основания. Мы знаем, что основание треугольной пирамиды - прямоугольный треугольник, поэтому высота пирамиды будет проходить через угол между катетами \(AC\) и \(AD\). Для нахождения высоты треугольной пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Найдем площадь основания. Для этого воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника:

\[A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD\]

Подставив значения, получаем:

\[A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 1 = 6\]

Теперь найдем высоту пирамиды с использованием теоремы Пифагора. Мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами \(AC = 12\), \(AD = 1\) и гипотенузой \(AB = 4\). Высота пирамиды будет являться катетом этого треугольника. Применяя теорему Пифагора, получаем:

\[h = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}\]

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, можем найти объем пирамиды, подставив их в формулу:

\[V = \frac{Ah}{3} = \frac{6 \cdot \sqrt{15}}{3} = 2\sqrt{15}\]

Таким образом, объем треугольной пирамиды ABCD равен \(2\sqrt{15}\) кубическим единицам.