Який діаметр перетинає хорду AB в точці D, якщо MBD = 60° і AD

Ser_6300

59

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства окружностей и треугольников.

Шаг 1: Понимание свойств треугольников

Первым шагом давайте вспомним некоторые свойства треугольников, которые помогут нам решить эту задачу.

- У треугольника сумма всех его внутренних углов равна 180°.
- В прямоугольном треугольнике противоположные углы суммарно дают 90°.

Шаг 2: Определение связей между углами

Теперь давайте посмотрим на задание и определим связи между углами. У нас есть угол MBD равный 60°.

Шаг 3: Нахождение углов треугольника

Так как в треугольнике MBD угол MBD равен 60°, и сумма углов треугольника равна 180°, мы можем вычислить остальные углы:

\(MBD = 60^{\circ}\)
\(BMD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\)

Шаг 4: Применение свойства хорды окружности

Теперь мы можем использовать свойство хорды окружности, согласно которому центральный угол, образованный хордой и дугой, является двойным по величине углом, образованным в любой другой точке на дуге.

Таким образом, угол ADB равен двойному углу угла MBD, то есть \(ADB = 2 \times MBD = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ}\).

Шаг 5: Нахождение диаметра

Мы знаем, что угол ADB является центральным углом, поэтому хорда AB делит окружность на две равные дуги.

Поскольку центральный угол является центром окружности, мы имеем MAB = 180°.

Так как угол MAB образован хордой AB и дугой MB, и они равны по величине, мы можем выразить угол MAB:

\(MAB = \frac{1}{2}ADB = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}\)

Теперь мы знаем угол MAB и угол MBD, и мы можем заключить, что треугольник MAB является равносторонним треугольником. В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны между собой.

Диаметр перетинает хорду AB в точке D, а значит, угол MAD равен 90°. Поскольку треугольник MAB — равносторонний, угол MDA также равен 90°.

Таким образом, точка D является серединой хорды AB.

Вывод: Диаметр пересекает хорду AB в точке D, являющейся серединой хорды.

Мы обосновали наше решение, используя свойства треугольников и окружностей.