Каков объем треугольной пирамиды SABC, если высота, опущенная из вершины S, делит сторону AB пополам, и сторона

Игоревна

17

Для решения данной задачи нам понадобится знание формулы для объема пирамиды. Объем треугольной пирамиды вычисляется по формуле:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot h,\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\triangle ABC}\) - площадь основания (треугольника ABC), а \(h\) - высота, опущенная из вершины пирамиды.

Дано, что сторона треугольника ABC равна 6, а высота, опущенная из вершины S, делит сторону AB пополам. Обозначим точку пересечения высоты и стороны AB как точку D. Таким образом, получается, что AD = DB = 3.

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона:

\[S_{\triangle ABC} = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)},\]

где \(p\) - полупериметр треугольника ABC. В нашем случае треугольник ABC равнобедренный, поэтому BC = AC.

Полупериметр треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон и разделив полученную сумму на 2:

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2}.\]

Заметим, что в нашей задаче AB = BC = 6. Тогда полупериметр будет равен:

\[p = \frac{6 + 6 + 6}{2} = 9.\]

Теперь можем вычислить площадь треугольника ABC:

\[S_{\triangle ABC} = \sqrt{9 \cdot (9 - 6) \cdot (9 - 6) \cdot (9 - 6)} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}.\]

Итак, мы нашли площадь основания: \(S_{\triangle ABC} = 9\sqrt{3}\).

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. По условию, высота опущенная из вершины S делит сторону AB пополам. Получается, что SD = \(\frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\).

Теперь у нас есть две стороны треугольника SDS, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды:

\[h = \sqrt{SD^2 - (DS/2)^2} = \sqrt{3^2 - (3/2)^2} = \sqrt{9 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4} - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.\]

Таким образом, мы нашли высоту пирамиды: \(h = \frac{3\sqrt{3}}{2}\).

Остается только подставить значения в формулу объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = 27.\]

Таким образом, объем треугольной пирамиды SABC равен 27 кубическим единицам.