Каков периметр и площадь прямоугольного треугольника, если длина одного катета равна a, а противолежащий угол также

Марат

47

Для решения этой задачи нам понадобится знать некоторые особенности прямоугольных треугольников. В прямоугольном треугольнике угол, противолежащий гипотенузе (самой длинной стороне), всегда равен 90 градусам.

Дано, что один катет имеет длину \(a\), а противолежащий угол (угол между гипотенузой и этим катетом) также равен \(a\). Для упрощения давайте обозначим второй катет через \(b\). Теперь мы можем записать следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\angle ACB = a \\
AC = a \\
BC = b
\end{cases}
\]

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому:

\[
\angle BAC = 180 - 90 - a = 90 - a
\]

Заметим, что \(\angle BAC\) и \(\angle ACB\) составляют прямой угол, значит, они дополняют друг друга до 90 градусов:

\[
\angle BAC + \angle ACB = 90 - a + a = 90
\]

Теперь у нас есть все необходимые элементы для вычисления площади и периметра прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
\]

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\[
P = AC + BC + AB
\]

Подставляя значения:

\[
P = a + b + \sqrt{a^2 + b^2}
\]

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен \(a + b + \sqrt{a^2 + b^2}\), а площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b\).