Каков период малых колебаний бусинки с отрицательным зарядом q1 на гладкой непроводящей штанге, которая располагается

  • 40
Каков период малых колебаний бусинки с отрицательным зарядом q1 на гладкой непроводящей штанге, которая располагается посередине между двумя одинаковыми положительными точечными зарядами величиной q, закрепленными на расстоянии d друг от друга? Учесть, что влиянием силы тяготения можно пренебречь.
Сумасшедший_Шерлок
63
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законом Гука и законом Кулона. Начнем с анализа сил, действующих на бусинку.

Силы, действующие на бусинку, включают силы упругости и силы от зарядов. Сила упругости \( F_e \) возвращающая бусинку к положению равновесия, определяется законом Гука:

\[ F_e = -kx \]

где \( k \) - коэффициент упругости (жесткость) штанги и \( x \) - смещение бусинки от положения равновесия.

Силы, действующие от зарядов, между бусинкой и зарядами, представляют собой силы Кулона. Сила Кулона \( F_c \) между двумя зарядами определяется следующим образом:

\[ F_c = \frac{{k \cdot |q1 \cdot q|}}{{d^2}} \]

где \( k \) - постоянная Кулона (\( 9 \times 10^9 \, Н \cdot м^2/Кл^2 \)), \( q1 \) - заряд бусинки, \( q \) - заряды точечных зарядов, \( d \) - расстояние между зарядами.

Так как штанга непроводящая, то заряд бусинки не будет изменяться при ее движении. Мы можем пренебречь силой тяготения на бусинку.

В периоде малых колебаний, когда амплитуда колебаний малая, масса бусинки (\( m \)) не влияет на период. Таким образом, период колебаний (\( T \)) бусинки определяется путем сравнения силы упругости с силой Кулона в положении равновесия.

В положении равновесия сумма сил равна нулю:

\[ F_e + F_c = 0 \]

\[ -kx + \frac{{k \cdot |q1 \cdot q|}}{{d^2}} = 0 \]

\[ kx = \frac{{k \cdot |q1 \cdot q|}}{{d^2}} \]

\[ x = \frac{{q1 \cdot q}}{{d^2}} \]

Мы знаем, что период колебаний для штанги с грузом зависит от жесткости штанги и массы груза:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{{m}}{{k}}} \]

Так как массу груза можем считать постоянной (\( m \)) и поскольку заряд бусинки не изменяется, то уравнение для периода колебаний примет вид:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{{m}}{{k}}} = 2\pi\sqrt{\frac{{x}}{{k}}} \]

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{{\frac{{q1 \cdot q}}{{d^2}}}}{{k}}} \]

Таким образом, период малых колебаний бусинки с отрицательным зарядом \( q1 \) на штанге между двумя положительными точечными зарядами \( q \) будет равен \( T = 2\pi\sqrt{\frac{{\frac{{q1 \cdot q}}{{d^2}}}}{{k}}} \).