Каков путь, пройденный точкой за промежуток времени от t1=1 до t2=3, если зависимость скорости тела v от времени

Ласточка

65

Хорошо, чтобы найти путь, пройденный точкой, мы должны интегрировать скорость по времени на заданном промежутке. Для этой задачи нам дано уравнение скорости:

\[v(t) = 2t-2\]

Мы можем воспользоваться определенным интегралом для вычисления пути. Определенный интеграл от функции \(f(t)\) на промежутке от \(a\) до \(b\) можно записать следующим образом:

\[\int_{a}^{b} f(t) \, dt\]

В нашем случае, путь будет равен интегралу от скорости \(v(t)\) на промежутке времени от \(t_1\) до \(t_2\):

\[S = \int_{t_1}^{t_2} (2t-2) \, dt\]

Теперь, чтобы найти путь, выполним интегрирование:

\[S = \int_{1}^{3} (2t-2) \, dt\]

Мы можем разделить этот интеграл на два отдельных интеграла:

\[S = \int_{1}^{3} 2t \, dt - \int_{1}^{3} 2 \, dt\]

Выполним интегрирование с помощью правил интегрирования:

\[S = t^2 \Big|_{1}^{3} - 2t \Big|_{1}^{3}\]

Теперь подставим верхние и нижние пределы интегрирования:

\[S = (3^2 - 1^2) - 2(3 - 1)\]

\[S = (9 - 1) - 2(2)\]

\[S = 8 - 4\]

\[S = 4\]

Таким образом, путь, пройденный точкой за промежуток времени от \(t_1 = 1\) до \(t_2 = 3\), равен 4.