Каков радиус окружности, если длина отрезка касательной AK равна 9√3 метров, а угол ∢OAK равен 30°? Найдите длину

Dobryy_Angel

57

Для решения данной задачи, давайте вначале разберемся с основными понятиями. Прежде всего, вспомним, что радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой. В данной задаче нас интересует радиус окружности.

Также, нам даны два числа: длина отрезка касательной \(AK\), которая равна \(9\sqrt{3}\) метров, и угол \(\angle OAK\), который равен \(30^\circ\).

Первым шагом, мы можем использовать геометрическое свойство касательной, которое гласит, что касательная, проведенная к окружности извне, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Таким образом, отрезок \(KA\) - это радиус окружности, и угол \(\angle KAO\) равен \(90^\circ\), так как он составляет прямой угол с касательной.

Имея угол \(\angle OAK\) равный \(30^\circ\) и прямой угол \(\angle KAO\) равный \(90^\circ\), мы можем добавить эти углы, чтобы получить сумму углов \(30^\circ + 90^\circ = 120^\circ\). Обозначим этот угол как \(\angle KAO"\).

Теперь, мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением, чтобы найти отношение длин отрезков наших сторон треугольника \(KAO"\).

Согласно тригонометрии, отношение сторон треугольника, являющегося прямоугольным и имеющего угол \(120^\circ\), можно найти с помощью теоремы синусов.

Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и противолежащими углами \(\angle A\), \(\angle B\) и \(\angle C\) соответственно, выполнено следующее соотношение:

\[\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C}\]

В нашем случае, мы ищем отношение сторон \(KA\) и \(OA\) в треугольнике \(KAO"\).

Так как у нас известна длина отрезка \(KA\), равная \(9\sqrt{3}\) метров, и угол \(\angle KAO"\), равный \(120^\circ\), мы можем записать соотношение:

\[\frac{KA}{\sin \angle KAO"} = \frac{OA}{\sin \angle OAK} = \frac{KO"}{\sin \angle OKA}\]

Поскольку угол \(\angle KAO"\) равен \(120^\circ\) и угол \(\angle KAO\) равен \(30^\circ\), мы можем заметить, что углы \(\angle KAO"\) и \(\angle OKA\) в сумме дают \(180^\circ\), так как они являются смежными углами на одной прямой.

Исходя из этого наблюдения, мы можем записать соотношение как:

\[\frac{KA}{\sin 120^\circ} = \frac{OA}{\sin 30^\circ} = \frac{KO"}{\sin \angle OKA}\]

Теперь, выразим длину отрезка \(OA\) через \(KA\) с помощью теоремы синусов:

\[\frac{KA}{\sin 120^\circ} = \frac{OA}{\sin 30^\circ}\]

Сокращаем выражение:

\[\frac{KA}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{OA}{\frac{1}{2}}\]

Теперь мы можем упростить выражение, умножив обе части на 2:

\[2KA = OA \cdot \sqrt{3}\]

Теперь мы имеем отношение длин сторон \(KA\) и \(OA\), связанных с углами \(120^\circ\) и \(30^\circ\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(OAB\), где \(AB\) - это радиус окружности, а \(OA\) - это выражение, которое мы только что получили: \(OA = 2KA/\sqrt{3}\).

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(OAB\), где \(AB\) - гипотенуза, а \(OA\) и \(OB\) - катеты, мы можем записать следующее выражение:

\[AB^2 = OA^2 + OB^2\]

Подставим выражение для \(OA\):

\[AB^2 = \left(\frac{2KA}{\sqrt{3}}\right)^2 + OB^2\]

\[AB^2 = \frac{4K^2A^2}{3} + OB^2\]

\[AB^2 = \frac{4K^2A^2 + 3OB^2}{3}\]

Так как точка \(B\) лежит на окружности, то \(AB\) равно радиусу окружности.

Теперь мы можем записать равенство:

\[R^2 = \frac{4K^2A^2 + 3OB^2}{3}\]

где \(R\) - это радиус окружности, который мы пытаемся найти.

Теперь предлагаю разобраться с выражением \(OB^2\).

Так как \(OB\) - это отрезок, проведенный из центра окружности в точку касания \(K\), он перпендикулярен касательной \(AK\). Таким образом, угол между \(OB\) и \(AK\) равен \(90^\circ\).

Так как у нас имеется прямоугольный треугольник \(OAB\), гипотенуза которого равна \(AB\) (т.е. радиусу окружности), мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника.

В данном случае, мы можем использовать соотношение:

\[\cos 90^\circ = \frac{OB}{AB}\]

\[\frac{OB}{AB} = 0\]

Использование аналогичного соотношения для синуса дает нам:

\[\sin 90^\circ = \frac{KA}{AB}\]

\[\frac{KA}{AB} = 1\]

Замечаем, что \(\sin 90^\circ = 1\), поэтому \(\frac{KA}{AB} = 1\).

Из этого наблюдения следует, что \(KA = AB\).

Теперь мы можем переписать наше выражение для радиуса:

\[R^2 = \frac{4K^2A^2 + 3OB^2}{3}\]

заменяя \(KA\) на \(AB\):

\[R^2 = \frac{4A^2 + 3OB^2}{3}\]

Теперь нам нужно определиться с \(OB^2\).

Обратите внимание, что у нас есть прямоугольный треугольник \(OAB\), где \(OA\) равно \(2KA/\sqrt{3}\), а \(AB\) равно \(KA\).

Мы можем использовать теорему Пифагора:

\[AB^2 = OA^2 + OB^2\]

\[KA^2 = \left(\frac{2KA}{\sqrt{3}}\right)^2 + OB^2\]

\[KA^2 = \frac{4K^2A^2}{3} + OB^2\]

Теперь опустим сокращенную формулу:

\[KA^2 = \frac{4A^2}{3} + OB^2\]

Учитывая то, что \(KA = AB\), мы можем выразить \(OB^2\) следующим образом:

\[OB^2 = KA^2 - \frac{4A^2}{3}\]

Подставим это выражение в нашу предыдущую формулу для радиуса:

\[R^2 = \frac{4A^2 + 3(OB^2)}{3}\]

\[R^2 = \frac{4A^2 + 3(KA^2 - \frac{4A^2}{3})}{3}\]

\[R^2 = \frac{12A^2 + 9KA^2 - 4A^2}{9}\]

\[R^2 = \frac{25KA^2}{9}\]

Теперь мы можем выразить радиус окружности:

\[R = \sqrt{\frac{25KA^2}{9}}\]

\[R = \frac{5KA}{3}\]

Таким образом, радиус окружности составляет \(\frac{5KA}{3}\).

Учитывая, что нам дана длина отрезка \(AK\), равная \(9\sqrt{3}\) метров, мы можем подставить это значение:

\[R = \frac{5 \cdot 9\sqrt{3}}{3}\]

\[R = 15\sqrt{3}\]

Таким образом, радиус окружности равен \(15\sqrt{3}\) метров.