Каков радиус окружности, которая описывает прямоугольный треугольник ABC, где ∠С=90º и медиана CM равна 7,3?

Павел

68

Чтобы найти радиус окружности, которая описывает прямоугольный треугольник ABC, нам понадобятся некоторые свойства треугольников и окружностей.

Одно из свойств прямоугольного треугольника гласит, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. В данной задаче у нас уже известна медиана CM, которая равна 7,3.

Также, по теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с длинами катетов a и b и гипотенузой c, выполняется соотношение a^2 + b^2 = c^2.

Мы можем воспользоваться этими свойствами, чтобы найти нужный радиус окружности.

Пусть радиус окружности, описывающей треугольник ABC, равен R.

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы, то из условия задачи получаем, что
CM = 7,3.
Так как CM является медианой гипотенузы, то BM = 2 * CM.
Аналогично, AM = 2 * CM.

Таким образом, длина гипотенузы AC равна AM + MC = 2 * CM + CM = 3 * CM = 3 * 7,3 = 21,9.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину второго катета треугольника ABC.
Имеем a^2 + b^2 = c^2.
Подставляя значения, получаем a^2 + b^2 = 7,3^2 + 21,9^2.

Вычисляя это выражение, получаем a^2 + b^2 = 53,29 + 479,61 = 532,9.

Поскольку a и b являются катетами прямоугольного треугольника, они имеют одинаковую длину.
То есть a = b.

Подставляя a = b в уравнение a^2 + b^2 = 532,9, получаем 2a^2 = 532,9.

Решаем это уравнение относительно a: a^2 = 532,9 / 2 = 266,45.

Теперь находим корень из a^2, чтобы найти длину катета a: a = √(266,45) ≈ 16,31.

Мы уже знаем, что радиус окружности, описывающей прямоугольный треугольник, равен половине длины гипотенузы, то есть R = AC / 2 = 21,9 / 2 = 10,95.

Таким образом, радиус окружности, описывающей треугольник ABC, равен примерно 10,95.