Каков радиус окружности, описанной вокруг боковой грани правильной треугольной пирамиды, если плоский угол

Osa

6

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые свойства треугольников и окружностей.

Давайте начнем с того, что представим правильную треугольную пирамиду и ее описанную окружность на плоскости.

Так как у треугольной пирамиды одна из граней представляет собой равносторонний треугольник, то все его грани и углы также будут равными.

Поскольку угол при вершине составляет 90 градусов, каждый из трех боковых углов будет равен 60 градусам. Это значит, что мы имеем дело с равнобедренным треугольником, где основание является одной из сторон равностороннего треугольника, а другие две стороны - это ребра пирамиды.

Радиус окружности, описанной вокруг боковой грани такой пирамиды, будет являться расстоянием от центра окружности до одного из ее сторон. Давайте обозначим этот радиус как \(r\).

Для нахождения радиуса нам необходимо найти длину одной из сторон бокового треугольника. Рассмотрим одну из таких сторон.

Так как треугольник равнобедренный, все его стороны равны. Обозначим длину одной из сторон как \(a\).

Расстояние от центра окружности до стороны треугольника можно найти с помощью высоты треугольника, проведенной к этой стороне. Обозначим высоту как \(h\).

Поскольку треугольник равнобедренный, высота будет являться медианой и биссектрисой одновременно. Это означает, что высота разделит основание треугольника пополам и будет перпендикулярно ему.

Так как треугольник является прямоугольным, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины высоты. По этой теореме, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае катетом будет половина основания треугольника, то есть \(0.5a\), а гипотенузой - высота \(h\).

Таким образом, получаем уравнение:
\[(0.5a)^2 + h^2 = a^2.\]

Решим это уравнение относительно \(h\):

\[0.25a^2 + h^2 = a^2,\]
\[h^2 = a^2 - 0.25a^2,\]
\[h^2 = 0.75a^2,\]
\[h = \sqrt{0.75}a = 0.866a\].

Теперь мы можем найти радиус окружности, используя найденную высоту.

Радиус окружности можно определить с помощью формулы радиуса описанной окружности для треугольников. Согласно этой формуле, радиус окружности равен произведению длин сторон треугольника, деленному на удвоенную площадь треугольника.

В нашем случае, у нас есть две равные стороны \(a\) и одна равная сторона \(h\), поэтому радиус можно найти по формуле:
\[r = \frac{a \cdot a \cdot h}{2 \cdot S},\]
где \(S\) - площадь треугольника.

Площадь треугольника, в нашем случае, равна площади боковой поверхности пирамиды.

Так как пирамида правильная и имеет равнобедренный треугольник в основании, площадь боковой поверхности можно найти с помощью формулы:
\[S = \frac{a \cdot h}{2},\]
где \(a\) - длина основания (сторона треугольника), \(h\) - высота треугольника, которую мы уже нашли.

Подставляя значение \(S\) в формулу для радиуса, получаем:
\[r = \frac{a \cdot a \cdot h}{2 \cdot \left(\frac{a \cdot h}{2}\right)},\]
\[r = \frac{a \cdot a \cdot h}{a \cdot h},\]
\[r = a.\]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг боковой грани правильной треугольной пирамиды, равен длине одной из сторон равностороннего треугольника, формирующего пирамиду.

Надеюсь, это решение будет понятным для школьника. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!