Каков радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, в которой вписана окружность радиусом 9? Какова

Valera

4

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства описанных и вписанных окружностей в правильном шестиугольнике.

Давайте начнем с определения. Правильный шестиугольник - это многоугольник, у которого все стороны и углы равны. В нашем случае, у нас есть правильный шестиугольник, в который вписана окружность радиусом 9.

Существует важное свойство правильного шестиугольника, которое гласит, что радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен двум радиусам вписанной окружности. То есть, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, будет 9 * 2 = 18.

Теперь посмотрим на стороны и периметр правильного шестиугольника. Поскольку все стороны равны, нам нужно только найти одну сторону, и затем мы сможем найти периметр.

Мы знаем, что вписанная окружность имеет радиус 9. Можно установить связь между радиусом вписанной окружности и длиной стороны правильного шестиугольника. Для этого мы можем использовать формулу:

\[r = \frac{s}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{6})}\]

где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(s\) - длина стороны правильного шестиугольника.

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[9 = \frac{s}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{6})}\]

Чтобы найти \(s\), нам нужно решить эту уравнение. После решения уравнения, мы найдем, что длина стороны правильного шестиугольника \(s\) равна \(9 \cdot 2 \cdot \tan(\frac{\pi}{6})\).

Теперь, зная длину стороны, мы можем найти периметр шестиугольника, умножив длину стороны на 6 (потому что у шестиугольника 6 сторон).

Чтобы найти площадь правильного шестиугольника, мы можем использовать формулу:

\[A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} s^2\]

где \(A\) - площадь правильного шестиугольника, \(s\) - длина стороны.

Подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} (9 \cdot 2 \cdot \tan(\frac{\pi}{6}))^2\]

После вычислений мы найдем площадь данного многоугольника.

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос:
- Радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен 18.
- Длина стороны шестиугольника равна \(9 \cdot 2 \cdot \tan(\frac{\pi}{6})\).
- Периметр шестиугольника равен 6 умножить на длину стороны.
- Площадь шестиугольника равна \(\frac{3 \sqrt{3}}{2} (9 \cdot 2 \cdot \tan(\frac{\pi}{6}))^2\).

Поэтому, используя эти формулы и свойства правильного шестиугольника, вы сможете вычислить радиус, сторону, периметр и площадь многоугольника.