Каков радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, если его катет равен 3 и синус противолежащего

Svetlyy_Angel_4986

37

Для решения задачи о радиусе окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, который имеет катет равный 3 и синус противолежащего угла равный 0,5, нужно воспользоваться теоремой синусов и свойством описанной окружности.

Первым шагом определим, какой угол противолежит катету. Поскольку синус этого угла равен 0,5, можно использовать обратный синус (арксинус) для нахождения величины угла:
\[\arcsin(0,5) = 30^\circ\]

Теперь у нас есть информация о треугольнике: один из углов равен 30 градусов, а катет равен 3. Зная, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, можно найти второй угол треугольника:
\[(90^\circ + 30^\circ) = 120^\circ\]

Таким образом, у нас есть два угла треугольника: 30 градусов и 120 градусов. Так как третий угол является прямым углом и равен 90 градусов, то мы знаем все углы прямоугольного треугольника.

По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла всегда одинаково. В нашем случае синус противолежащего угла равен 0,5, и катет - это сторона противолежащая углу в 30 градусов. Другой катет треугольника является гипотенузой описанной окружности, а радиус окружности - это половина гипотенузы.

Итак, чтобы найти радиус окружности, нужно найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:
\[c^2 = a^2 + b^2\]

Где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.
В нашем случае:
\[c^2 = 3^2 + b^2\]

Так как у нас уже известно значение одного катета (3), мы можем подставить его в уравнение:
\[c^2 = 9 + b^2\]

Теперь мы знаем, что увеличивая значение гипотенузы, равенство по-прежнему останется верным. Однако в нашем случае гипотенуза - это половина радиуса описанной окружности. Поэтому, чтобы найти радиус, нужно найти половину гипотенузы.
Делим обе части уравнения на 2:
\[\left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{9 + b^2}{2}\]

Таким образом, радиус окружности будет равен половине гипотенузы, которая равна:
\[r = \frac{c}{2} = \sqrt{\frac{9 + b^2}{2}}\]

Подставляя значение катета \(b = 3\), получим:
\[r = \frac{\sqrt{9 + 3^2}}{2}\]

Для упрощения выражения:
\[r = \frac{\sqrt{9 + 9}}{2} = \frac{\sqrt{18}}{2}\]

Применяя свойство квадратного корня со значением:
\[r = \frac{3\sqrt{2}}{2}\]

Итак, радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника с катетом равным 3 и синусом противолежащего угла, равным 0,5, равен \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\).