Каков радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, если его катет равен 3 и синус противолежащего

Svetlyy_Angel_4986

37

Для решения задачи о радиусе окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, который имеет катет равный 3 и синус противолежащего угла равный 0,5, нужно воспользоваться теоремой синусов и свойством описанной окружности.

Первым шагом определим, какой угол противолежит катету. Поскольку синус этого угла равен 0,5, можно использовать обратный синус (арксинус) для нахождения величины угла:
$$\arcsin (0,5)={30}^{\circ }$$

Теперь у нас есть информация о треугольнике: один из углов равен 30 градусов, а катет равен 3. Зная, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, можно найти второй угол треугольника:
$$({90}^{\circ }+{30}^{\circ })={120}^{\circ }$$

Таким образом, у нас есть два угла треугольника: 30 градусов и 120 градусов. Так как третий угол является прямым углом и равен 90 градусов, то мы знаем все углы прямоугольного треугольника.

По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла всегда одинаково. В нашем случае синус противолежащего угла равен 0,5, и катет - это сторона противолежащая углу в 30 градусов. Другой катет треугольника является гипотенузой описанной окружности, а радиус окружности - это половина гипотенузы.

Итак, чтобы найти радиус окружности, нужно найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:
$$c^2=a^2+b^2$$

Где $c$ - гипотенуза, $a$ и $b$ - катеты треугольника.
В нашем случае:
$$c^2=3^2+b^2$$

Так как у нас уже известно значение одного катета (3), мы можем подставить его в уравнение:
$$c^2=9+b^2$$

Теперь мы знаем, что увеличивая значение гипотенузы, равенство по-прежнему останется верным. Однако в нашем случае гипотенуза - это половина радиуса описанной окружности. Поэтому, чтобы найти радиус, нужно найти половину гипотенузы.
Делим обе части уравнения на 2:
$${\left(\frac{c}{2}\right)}^2=\frac{9+b^2}{2}$$

Таким образом, радиус окружности будет равен половине гипотенузы, которая равна:
$$r=\frac{c}{2}=\sqrt{\frac{9+b^2}{2}}$$

Подставляя значение катета $b=3$, получим:
$$r=\frac{\sqrt{9+3^2}}{2}$$

Для упрощения выражения:
$$r=\frac{\sqrt{9+9}}{2}=\frac{\sqrt{18}}{2}$$

Применяя свойство квадратного корня со значением:
$$r=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Итак, радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника с катетом равным 3 и синусом противолежащего угла, равным 0,5, равен $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.